高斯消元

高斯消元求线性方程组的解
高斯消元复杂度 O(N^3)

参考 ：整数线性方程组的解 | 自由变元的个数
      http://www.cnblogs.com/kuangbin/archive/2012/09/01/2667044.html

      浮点线性方程组的解
      http://www.cnblogs.com/kuangbin/p/3428573.html

      异或方程组的解
      http://blog.csdn.net/u012936765/article/details/46966517

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cmath>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<vector>
#include<set>
#include<map>
using namespace std ;

const int maxn = 300 ;
int equ , var ;
int a[maxn][maxn] ;
int x[maxn] ;
int free_x[maxn] ;
int free_num ;

//高斯消元枚举自由变元，如果自由变元为0 个，那么得到解，否则枚举自由变元
//一类开关问题：高斯消元求异或方程组的解 

void dis(){
            for(int i = 0 ;i<10 ;i++){
            for( int j = 0 ;j<10 ;j++)
                cout<<a[i][j]<<" ";
            cout<<endl;
        }
        cout<<"asdfasd"<<endl;
        for(int i = 0 ;i<10 ;i++)
            cout<<x[i]<<" ";
        cout<<endl;
}


int Gauss(){
    int max_r , col , k ;
    free_num = 0 ;
    for( k = 0 , col = 0 ; k < equ && col < var ; k ++ , col ++){
        max_r = k ;
        //找最大的行 
        for( int i = k + 1 ;  i<equ ;i++){
            if( abs( a[i][col] > abs( a[max_r][col] )))
                max_r = i ;
        }
        //自由变元 
        if( a[max_r][col] == 0 ){
            k -- ;
            free_x[ free_num ++ ] = col ;
            continue ;
        }
        //交换两行 
        if( max_r != k ){
            for( int j = col ; j<var + 1 ; j++){
                swap( a[k][j] , a[max_r][j]) ;
            }
        }

        for(int i = k + 1 ; i<equ ;i++){
            if( a[i][col] != 0 ){
                for( int j = col ; j< var + 1 ; j++)
                    a[i][j] ^= a[k][j] ;
            }
        }
    }
    for(int i = k ;i<equ ;i++)
        if( a[i][col] != 0 )
            return -1 ;
    if( k < var)
        return var - k ;
    for( int i = var - 1 ; i>=0 ;i--){
        x[i] = a[i][var] ;
        for( int j = i + 1 ; j<var ; j++)
            x[i] ^= ( a[i][j] && x[j] ) ;
    }
    dis() ;
    return 0 ;
} 
int n ;
void init(){
    memset( a, 0 , sizeof( a )) ;
    memset( x , 0 , sizeof( x )) ;
    equ = n* n ;
    var = n* n ;
    for( int i = 0 ; i < n ; i++)
        for( int j = 0 ; j< n ;j++){
            int t = i * n + j  ;
            a[t][t] = 1 ;
            if( i>0 ) a[ ( i - 1 ) * n + j ][t] = 1 ;
            if( i<n-1 )
                a[ ( i+1) * n + j ][t] = 1;
            if( j > 0 )
                a[i*n + j -1][t] = 1 ;
            if( j < n - 1)
                a[i* n + j + 1][t] = 1 ;
        }
}


void solve(){
    int t = Gauss() ;
    cout<<t<<endl;
    if( t== -1 ){
        printf("inf\n") ;
        return ;
    }
    else if( t== 0 ){
        int ans = 0 ;
        for( int i = 0 ; i<n* n ;i++){
            ans += x[i] ;
        }
        printf("%d\n" , ans ) ;
        return ;
    }
    else{
        int ans = 0x3f3f3f3f ;
        int tot = ( 1<< t ) ;
        for( int i = 0 ; i< tot ; i++){
            int cnt = 0 ;
            for( int j = 0 ; j<t ; j++){
                if( i & ( 1<< j )){
                    x[free_x[j]] = 1 ;
                    cnt ++ ;
                }
                else
                    x[free_x[j]] = 0 ;
            }
            for( int j = var - t - 1 ; j >= 0 ; j--){
                int idx ;
                for( idx = j ; idx < var ; idx ++)
                    if( a[j][idx])
                        break ;
                x[idx] = a[j][var] ;
                for( int l = idx + 1 ; l < var ; l++)
                    if( a[j][l] )
                        x[idx] ^= x[l] ;
                cnt += x[idx] ;      
            }
            ans = min( ans , cnt ) ;
        }
        printf("%d\n" , ans ) ;
    }
}

char str[30][30] ;


int main(){
    int T ;
    scanf("%d" , &T) ;
    while( T-- ){
        scanf("%d" , & n ) ;
        init() ;
        for( int i = 0 ; i< n ;i++){
            scanf("%s" , str[i]) ;
            for( int j = 0 ; j< n ;j ++){
                if( str[i][j] == 'y')
                    a[i* n + j ][n* n ] = 0 ;
                else
                    a[i*n+j][n*n ] = 1 ;
            }
        }   

        solve() ;
    }
    return 0 ;
}

#include<stdio.h>
#include<algorithm>
#include<iostream>
#include<string.h>
#include<math.h>
using namespace std;

const int MAXN=400;
int a[MAXN][MAXN];//增广矩阵
int x[MAXN];//解集
bool free_x[MAXN];//标记是否是不确定的变元


//高斯消元求模线性方程组的解 

inline int gcd(int a,int b)
{
    int t;
    while(b!=0)
    {
        t=b;
        b=a%b;
        a=t;
    }
    return a;
}
inline int lcm(int a,int b)
{
    return a/gcd(a,b)*b;//先除后乘防溢出
}

// 高斯消元法解方程组(Gauss-Jordan elimination).(-2表示有浮点数解，但无整数解，
//-1表示无解，0表示唯一解，大于0表示无穷解，并返回自由变元的个数)
//有equ个方程，var个变元。增广矩阵行数为equ,分别为0到equ-1,列数为var+1,分别为0到var.
int Gauss(int equ,int var)
{
    int i,j,k;
    int max_r;// 当前这列绝对值最大的行.
    int col;//当前处理的列
    int ta,tb;
    int LCM;
    int temp;
    int free_x_num;
    int free_index;

    for(int i=0;i<=var;i++)
    {
        x[i]=0;
        free_x[i]=true;
    }

    //转换为阶梯阵.
    col=0; // 当前处理的列
    for(k = 0;k < equ && col < var;k++,col++)
    {// 枚举当前处理的行.
// 找到该col列元素绝对值最大的那行与第k行交换.(为了在除法时减小误差)
        max_r=k;
        for(i=k+1;i<equ;i++)
        {
            if(abs(a[i][col])>abs(a[max_r][col])) max_r=i;
        }
        if(max_r!=k)
        {// 与第k行交换.
            for(j=k;j<var+1;j++) swap(a[k][j],a[max_r][j]);
        }
        if(a[k][col]==0)
        {// 说明该col列第k行以下全是0了，则处理当前行的下一列.
            k--;
            continue;
        }
        for(i=k+1;i<equ;i++)
        {// 枚举要删去的行.
            if(a[i][col]!=0)
            {
                LCM = lcm(abs(a[i][col]),abs(a[k][col]));
                ta = LCM/abs(a[i][col]);
                tb = LCM/abs(a[k][col]);
                if(a[i][col]*a[k][col]<0)tb=-tb;//异号的情况是相加
                for(j=col;j<var+1;j++)
                {
                    a[i][j] = ((a[i][j]*ta-a[k][j]*tb)%7+7)%7;
                }
            }
        }
    }


    // 1. 无解的情况: 化简的增广阵中存在(0, 0, ..., a)这样的行(a != 0).
    for (i = k; i < equ; i++)
    { // 对于无穷解来说，如果要判断哪些是自由变元，那么初等行变换中的交换就会影响，则要记录交换.
        if ( a[i][col]  != 0) return -1;
    }
    // 2. 无穷解的情况: 在var * (var + 1)的增广阵中出现(0, 0, ..., 0)这样的行，即说明没有形成严格的上三角阵.
    // 且出现的行数即为自由变元的个数.
    if (k < var)
    {
        // 首先，自由变元有var - k个，即不确定的变元至少有var - k个.
        for (i = k - 1; i >= 0; i--)
        {
            // 第i行一定不会是(0, 0, ..., 0)的情况，因为这样的行是在第k行到第equ行.
            // 同样，第i行一定不会是(0, 0, ..., a), a != 0的情况，这样的无解的.
            free_x_num = 0; // 用于判断该行中的不确定的变元的个数，如果超过1个，则无法求解，它们仍然为不确定的变元.
            for (j = 0; j < var; j++)
            {
                if (a[i][j] != 0 && free_x[j]) free_x_num++, free_index = j;
            }
            if (free_x_num > 1) continue; // 无法求解出确定的变元.
            // 说明就只有一个不确定的变元free_index，那么可以求解出该变元，且该变元是确定的.
            temp = a[i][var];
            for (j = 0; j < var; j++)
            {
                if (a[i][j] != 0 && j != free_index) temp -= a[i][j] * x[j]%7;
                temp=(temp%7+7)%7;
            }
            x[free_index] = (temp / a[i][free_index])%7; // 求出该变元.
            free_x[free_index] = 0; // 该变元是确定的.
        }
        return var - k; // 自由变元有var - k个.
    }
    // 3. 唯一解的情况: 在var * (var + 1)的增广阵中形成严格的上三角阵.
    // 计算出Xn-1, Xn-2 ... X0.
    for (i = var - 1; i >= 0; i--)
    {
        temp = a[i][var];
        for (j = i + 1; j < var; j++)
        {
            if (a[i][j] != 0) temp -= a[i][j] * x[j];
            temp=(temp%7+7)%7;
        }
        while (temp % a[i][i] != 0) temp+=7;
        x[i] =( temp / a[i][i])%7 ;
    }
    return 0;
}

int tran(char *s)
{
    if(strcmp(s,"MON")==0)return 1;
    else if(strcmp(s,"TUE")==0) return 2;
    else if(strcmp(s,"WED")==0) return 3;
    else if(strcmp(s,"THU")==0) return 4;
    else if(strcmp(s,"FRI")==0) return 5;
    else if(strcmp(s,"SAT")==0) return 6;
    else return 7;
}
char str1[20];
char str2[20];
int main()
{
  //  freopen("in.txt","r",stdin);
  //  freopen("out.txt","w",stdout);
    int n,m;
    int k;
    int t;
    while(scanf("%d%d",&n,&m)!=EOF)
    {
        if(n==0&&m==0)break;
        memset(a,0,sizeof(a));
        for(int i=0;i<m;i++)
        {
            scanf("%d%s%s",&k,&str1,&str2);
            a[i][n]=((tran(str2)-tran(str1)+1)%7+7)%7;//这里减的顺序很重要，取了绝对值就WA了。
            while(k--)
            {
                scanf("%d",&t);
                t--;
                a[i][t]++;
                a[i][t]%=7;
            }
        }
        int ans=Gauss(m,n);
        if(ans==0)
        {
            for(int i=0;i<n;i++)
               if(x[i]<=2)x[i]+=7;//注意看题意
            for(int i=0;i<n-1;i++)printf("%d ",x[i]);
            printf("%d\n",x[n-1]);
        }
        else if(ans==-1)printf("Inconsistent data.\n");
        else printf("Multiple solutions.\n");
    }
    return 0;
}