数论 - 用扩展欧几里得解模线性方程ax≡b (mod n) + 生理周期

因为方法本身比较死所以就直接上代码吧。

#include<iostream>
using namespace std;
//扩展欧几里得算法
int extended_gcd(int a, int b, int &x, int &y)
{
	if (b == 0)
	{
		x = 1;
		y = 0;
		return a;
	}
	int r = extended_gcd(b, a % b, x, y);
	int t = x;
	x = y;
	y = t - a / b * y;
	return r;
}
//用扩展欧几里得解模线性方程ax=b (mod n)
bool modularLinearEquation(int a, int b, int n)
{
	int x, y, x0, i;
	int d = extended_gcd(a, n, x, y);     //ax=b (mod n) 等价于ax+ny=b
	if (b%d)
		return false;
	x0 = x*(b / d) % n;
	for (i = 1; i <= d; i++)
		printf("%d\n", (x0 + i*(n / d)) % n);
	return true;
}
int main()
{
	int a, n;
	while (cin >> a >> n)
	{
		modularLinearEquation(a, 1, n);
	}
		return 0;
}

以【生理周期】一题为例可以简单了解一下运用。

Description

人生来就有三个生理周期，分别为体力、感情和智力周期，它们的周期长度为23天、28天和33天。每一个周期中有一天是高峰。在高峰这天，人会在相应的方面表现出色。例如，智力周期的高峰，人会思维敏捷，精力容易高度集中。因为三个周期的周长不同，所以通常三个周期的高峰不会落在同一天。对于每个人，我们想知道何时三个高峰落在同一天。对于每个周期，我们会给出从当前年份的第一天开始，到出现高峰的天数（不一定是第一次高峰出现的时间）。你的任务是给定一个从当年第一天开始数的天数，输出从给定时间开始（不包括给定时间）下一次三个高峰落在同一天的时间（距给定时间的天数）。例如：给定时间为10，下次出现三个高峰同天的时间是12，则输出2（注意这里不是3）。

Input

输入四个整数：p, e, i和d。 p, e, i分别表示体力、情感和智力高峰出现的时间（时间从当年的第一天开始计算）。d 是给定的时间，可能小于p, e, 或 i。 所有给定时间是非负的并且小于365, 所求的时间小于21252。 

当p = e = i = d = -1时，输入数据结束。

Output

从给定时间起，下一次三个高峰同天的时间（距离给定时间的天数）。 

采用以下格式： 
Case 1: the next triple peak occurs in 1234 days. 

注意：即使结果是1天，也使用复数形式“days”。

Sample Input

0 0 0 0
0 0 0 100
5 20 34 325
4 5 6 7
283 102 23 320
203 301 203 40
-1 -1 -1 -1

Sample Output

Case 1: the next triple peak occurs in 21252 days.
Case 2: the next triple peak occurs in 21152 days.
Case 3: the next triple peak occurs in 19575 days.
Case 4: the next triple peak occurs in 16994 days.
Case 5: the next triple peak occurs in 8910 days.
Case 6: the next triple peak occurs in 10789 days.

同余方程 ax≡b (modn)对于未知数 x 有解，当且仅当 gcd(a,n) | b。且方程有解时，方程有 gcd(a,n) 个解。
求解方程 ax≡b (modn) 相当于求解方程 ax+ny= b, (x, y为整数)。

此处的乘法逆元可用该法求解：

ax≡1（mod n）等价于 ax+ny=1=gcd(a,n)，调用extended_gcd(a,n,x,y)，并当公约数ret=1(a,n互为质数,ret一定等于1)时。

当x>0时,x即为a的乘法逆元。当x<0时,将x转换为mod n的最小正整数即可:

　　　 while(x<0)

　　　　  x+=n;

所以可以直接套用扩展欧几里得算法求解。

回到题目，该题是要解以下方程组：

x+d≡p(mod 23)

x+d≡e(mod 28)

x+d≡i(mod 33)

三个周期互素，所以M=23*28*33=21252，

M₁=M/23=924

M₂=M/28=759

M₃=M/33=644

 

所以根据：

M₁* t₁≡924*t₁≡1(mod 23)

M₂* t₂≡759*t₂≡1(mod 28)

M₃* t₃≡644*t₃≡1(mod 33)

 

用上述扩展欧几里得算法程序可以得到解分别为：

t₁=6(mod 23)

t₂=19(mod 28)

t₃=2(mod 33)

 

所以x+d≡(M₁* t₁*p+ M₂*t₂*e+ M₃* t₃*i)(mod 21252)

即：x=(5544*p+14421*e+1288*i-d)%21252

#include<iostream>
using namespace std;

int main()
{
	int p, e, i, d, count = 0, x;
	while (cin >>p>>e>>i>>d,~p)//逗号表达式的值为最后一项的值，而-1和0的补码形式刚好是各位取反
	{
		x = (5544 * p + 14421 * e + 1288 * i - d + 21252) % 21252;//之前得到的式子
		if (x == 0) x = 21252;
		cout << "Case " << ++count << ": the next triple peak occurs in " << x << " days." << endl;
	}
		return 0;
}

来源和参考：

http://blog.youkuaiyun.com/synapse7/article/details/9946013

http://www.cnblogs.com/Seiyagoo/archive/2012/03/21/2410369.html

https://xuanwo.org/2015/03/11/number-theory-gcd/

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