【剑指offer】8.跳台阶[by Python]

题目描述

一只青蛙一次可以跳上1级台阶，也可以跳上2级。求该青蛙跳上一个n级的台阶总共有多少种跳法。

解题思路

1级台阶：1种跳法
2级台阶：2种跳法
3级台阶：3种跳法
4级台阶：5种跳法
。。。
即：台阶级数和跳法总数的关系满足斐波那契数列。
斐波那契数列：1，1，2，3，5，8，13，。。。
用求解斐波那契数列第n项的方式求解该题即可。

Python代码

def jumpFloor(self, number):
    list = [1,1]
    while number > 0:
        list[0],list[1] = list[1],list[0]+list[1]
        number -= 1
    return list[0]
 

 
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One More Thing

为什么青蛙跳台阶的跳法数量刚好满足斐波那契数列呢？
获取答案第一步：了解斐波那契数列的定义（图片引自知乎）：

获取答案第二步：了解青蛙跳台阶的定义（图片引自博客）：

获取答案：：
斐波那契数列和青蛙跳台阶除初始条件略有差异，其通式完全一致。

方法1:递归

设青蛙跳上n级台阶有f(n)种方法，把这n种方法分为两大类，第一种最后一次跳了一级台阶，这类方法共有f(n-1)种，第二种最后一次跳了两级台阶，这种方法共有f(n-2)种，则得出递推公式f(n)=f(n-1)+f(n-2),显然，f(1)=1,f(2)=2，递推公式如下：

* 这种方法虽然代码简单，但效率低，会超出时间上限*
代码实现如下

class Solution:
    # @param {integer} n
    # @return {integer}
    def climbStairs(self, n):
        if n==1:
            return 1
        elif n==2:
            return 2
        else:
            return self.climbStairs(n-1)+self.climbStairs(n-2)
 

 
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方法2: 用循环来代替递归

这种方法的原理仍然基于上面的公式，但是用循环代替了递归，比上面的代码效率上有较大的提升，可以AC

代码实现如下：

class Solution:
    # @param {integer} n
    # @return {integer}
    def climbStairs(self, n):
        if n==1 or n==2:
            return n
        a=1;b=2;c=3
        for i in range(3,n+1):
            c=a+b;a=b;b=c
        return c

 

 
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方法三：建立简单数学模型，利用组合数公式

这种方法我比较喜欢

设青蛙跳上这n级台阶一共跳了z次，其中有x次是一次跳了两级，y次是一次跳了一级，则有z=x+y ,2x+y=n,对一个固定的x，利用组合可求出跳上这n级台阶的方法共有
种方法
又因为 x在区间[0,n/2]内，所以我们只需要遍历这个区间内所有的整数，求出每个x对应的组合数累加到最后的结果即可

python代码实现如下：

class Solution:
    # @param {integer} n
    # @return {integer}
    def climbStairs(self, n):
        def fact(n):
            result=1
            for i in range(1,n+1):
                result*=i
            return result
        total=0
        for i in range(n/2+1):
            total+=fact(i+n-2*i)/fact(i)/fact(n-2*i)
        return total

 

 
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