哈夫曼树及其应用

哈夫曼树的概念

        路径：从一个结点到另一个结点之间的分支序列

        路径长度：从一个结点到另一个结点所经过的分支数目

        结点的权：根据应用的需要可以给树的结点赋权值

        带权路径长度：从根到该结点的路径长度与该结点权的乘积

        树的带权路径长度：树中所有叶子结点的带权路径之和

        哈夫曼树：由n个带权叶子结点构成的所有二叉树中带权路径长度最短的二叉树

示例：有4个结点，权值分别为7,5,2,4，构造有4个叶子结点的二叉树

                                            

构造哈夫曼树

        1）初始化：根据给定的n个权值 ，构造n棵只有一个根结点的二叉树， n个权值分别是这些二叉树根结点的权；

        2）找最小树：在F中选取两棵根结点树值最小的树作为左、右子树，构造一颗新的二叉树，置新二叉树根的权值为左、右子树根结点权值之和；

        3）删除与加入：从F中删除这两颗树，并将新树加入F；

        4）判断：重复2）和3），直到F中只含一颗树为止，此时得到的这颗二叉树就是哈夫曼树。

示例：w={5,29, 7, 8, 14, 23, 3, 11}

        

            

哈夫曼编码

        前缀码：如果在一个编码系统中，任一个编码都不是其他任何编码的前缀，则称该编码系统中的编码是前缀码。例如，一组编码01,001,010,100,110就不是前缀码，因为01是010的前缀，若去掉01或010就是前缀码。

        哈夫曼编码：对一棵具有n个叶子的哈夫曼树，若对树中的每个左分支赋予0，右分支赋予1，则从根到每个叶子的通路上，各分支的赋值分别构成一个二进制串，该二进制串就称为哈夫曼编码。

        哈夫曼编码是最优前缀码。