关于超平面相交问题

最新推荐文章于 2024-10-15 22:02:26 发布
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两个n个（n>2）自变量的函数所表示的超平面相交，得到n-1个自变量的超平面，当n=2时，得到平面，n=1时得到直线，相交即降维

每天五分钟机器学习：支持向量机数学基础之超平面分离定理
huanfeng_AI的博客
11-23 603
超平面分离定理（Separating Hyperplane Theorem）又称凸集分离定理，其表述如下：定义：若C和D为非空凸集，且C ∩ D = ∅，则存在非零向量a和常数b，使得对于所有x ∈ C，有a^T x ≤ b，对于所有x ∈ D，有a^T x ≥ b。也即，存在一个超平面{ x | a^T x = b }将C和D分离。这个定理的核心在于，两个不相交的凸集总可以找到一个超平面，使得这两个集合分别位于超平面的两侧。
超平面、Wx=b或Wx+b=0的几何意义
Zelf0914的博客
07-14 7239
超平面、Wx=b或Wx+b=0的几何意义超平面的理解Wx=b或Wx+b=0的几何意义 超平面的理解 二维空间中，满足 ax + by + c = 0 的所有点 (x, y) 在几何上是一条直线（类似于 y = k1x + k2）。 三维空间中，满足 ax + by + cz = d 的所有点 (x, y, z) 在几何上是空间的一张平面。 n维空间中, 满足n元一次方程 a1x1 + a2x2 +...
超平面与半空间&Euclid 球和椭球 &超平面分离定理和 支撑超平面定理
weixin_45008608的博客
09-12 1387
关于仿射集合、凸集、凸锥我们有一些重要的例子，首先介绍一些简单的： 空集∅\varnothing∅、任意一点（单点集）{x0}\{x_0\}{x0​}、全空间Rn\mathbf{R}^nRn都是Rn\mathbf{R}^nRn的仿射子集。 任意直线是仿射的，如果直线通过零点，则是子空间，因此也是凸锥。 一条线段是凸的，但不是仿射的。 一条射线是凸的，单不是仿射的，如果射线的基点x0x_0x0​是0，则它是凸锥。 任意子空间是仿射的、凸锥。 超平面Hyperplane与半空间halfspace 超平面是具
平面和超平面
TVfan的博客
01-23 1018
平面及超平面 平面 对于线性方程，aaa，bbb，ccc，ddd，是常系数，a,b,ca,b,ca,b,c不都为零，这样的方程确定了一个R3R^3R3的平面 ax+by+cz=dax+by+cz=dax+by+cz=d 向量w=[a,b,c]Tw=[a,b,c]^Tw=[a,b,c]T是平面的法向量 向量x=[x,y,z]Tx=[x,y,z]^Tx=[x,y,z]T是平面上的点 常数d=w0,∣d∣/(a2+b2+c2)常数d=w_0,|d|/\sqrt(a^2+b^2+c^2)常数d=w0​,∣d∣/(
超平面
weixin_30275415的博客
06-02 397
什么是超平面 我们最常见的平面概念是在三维空间中定义的: \[ Ax + By + Cz + D = 0 \] 它由两个性质定义: 方程是线性的: 是空间点的各分量的线性组合 方程数量为1 若抛却维度等于3的限制, 就得到了超平面的定义. 方程数量为1, 它的本质其实是自由度比空间维度\(d\)小一. 自由度的概念可以简单的理解为至少要给定多少个分量的值才能确定一个点. 例如, 三维空间里的(...
超平面（Hyperplane）和半空间（Halfspace）
xy_optics的博客
10-15 2619
在nnn维欧几里得空间RnRn中，超平面是一个n−1n-1n−1维的仿射子空间。直观地说，超平面将空间划分为两个部分，是空间中的“平面”推广到高维的概念。在二维空间（R2R2）中，超平面是直线（111维）。在三维空间（R3R3）中，超平面是平面（222维）。在nnn维空间中，超平面是n−1n-1n−1维的子空间。半空间是由超平面将空间分割成的两个部分之一。具体来说，超平面将RnRn分割成两个闭的或开的半空间。
超平面公式推导及理解
Alina_M的博客
06-30 5255
  最近在学习《统计学习方法》，在学习第一个机器学习算法 ——感知机时，提出了超平面的概念，以下为超平面公式的推导及空间中任意一点距离超平面距离的推导。方便日后复习。参考 超平面    ...
四元数解算姿态Matlab程序代码.rar_单位四元数_姿态角_姿态解算_组合姿态_超平面
07-14
对于i、j、k本身的几何意义可以理解为一种旋转，其中i旋转代表X轴与Y轴相交平面中X轴正向向Y轴正向的旋转，j旋转代表Z轴与X轴相交平面中Z轴正向向X轴正向的旋转，k旋转代表Y轴与Z轴相交平面中Y轴正向向Z轴正向的旋转...
测试两个矩形的交集：超平面分离定理作者：Dan Oprisan/Timofte Bogdan-matlab开发
05-30
SAT 提出了一种算法来测试两个凸面是否相交。 无论维度如何，分离轴始终是一条线。 例如，在 3D 中，空间被平面分隔，但分隔轴垂直于分隔平面。 分离轴定理可用于多边形网格之间的快速碰撞检测。 每个面的法线...
平面、超平面的法线，平行超平面的距离
天天向上的专栏
11-22 7882
一个平面或超平面由一个方程（不是一组方程）定义： {x∣aTx=b}\{x\mid a^Tx=b\}{x∣aTx=b} 其中 aaa 是一个非零的列向量，而 bbb 是一个实数。那么它的法线（垂线）向量是 aaa。 例如，超平面 2x+3y+4z=52x+3y+4z=52x+3y+4z=5 它法线向量是：(2,3,4)(2, 3, 4)(2,3,4)。它的一个法线是： x−12=y−13=z−14...
求两个矩形求范围交集的快速算法
05-24
两个矩形相交有三种情况： 1. 相离，可以通过判断两个矩形的X最大值，最小值以及Y最大值，最小值的大小比较判定。（空间搜索外包矩形常用算法） 2. 包含与被包含，也是通过两个矩形的X最大值，最小值以及Y最大值，最小值的大小比较判定。（空间搜索外包矩形常用算法） 3. 相交。相交情况比较复杂，情况分以下三种
SVM原理：超平面方程
iracer的博客
03-01 3378
（1）超平面方程 3维空间中平面方程的一般形式： (1) 平面的法向量为，为平面到原点的距离。 d维空间平面方程的一般形式： (2) 平面的法向量为，（分号表示列向量）。 （2）向量表示 三维空间中的向量可以用点坐标来表示。向量表示一个过原点与该点的向量。 两个向量和垂直的充要条件为： (3) 即， (4) （3）超平面的法向量 为什么超平面的法向量为？ 以3维空间为例，设平面上任意两点,，由于两个点都在平面上，所以均满足平面方程： 上两式相...
超平面是什么？——理解超平面（SVM开篇之超平面详解）
热门推荐
denghe优快云的博客
08-17 10万+
        研究了半天，终于对“超平面”有了个初步了解。         n 维空间中的超平面由下面的方程确定:                                                 其中，w 和 x 都是 n 维列向量，x 为平面上的点，w 为平面上的法向量，决定了超平面的方向，b 是一个实数，代表超平面到原点的距离。且                       ...
N维法向量与N维超平面的关系的简单证明（日志二）
abvj64979的博客
05-05 373
虽然按照上面的方式证明出来，但感觉之中，似乎依旧是不严密的， 如下： 如果直线是2x+2y+1=0 那么（-1,1）也是其平行向量 ,.那么（1,1）依旧是法向量 此时，直线经过（0，-1/2）这个点，这样的话b=1/2，得到的直线，就是x+y+1/2=0 ,化简一下，得到的直线是2x+2y+1=0,依旧是这条直线 ...
如何理解超平面？
u013613100的博客
08-20 1664
超平面 定义 超平面是指n维线性空间中维度为n-1的子空间。它可以把线性空间分割成不相交的两部分。比如二维空间中，一条直线是一维的，它把平面分成了两块；三维空间中，一个平面是二维的，它把空间分成了两块。超平面定义 直接的说明见链接：如何理解超平面 超平面是凸集的证明 还是回溯凸集的定义展开，进行推导：超平面凸集证明 ...
超平面详解
weixin_43721354的博客
06-12 8073
学习SVM绕不开超平面的概念。先复习一些基础的概念（平面方程），帮助理解。 1. 平面及其方程： 因为平面与空间直线分别是曲面与空间曲线的特例，所以在讨论平面与空间直线以前，先引入有关曲面方程与空间曲线方程的概念。 在空间解析几何中，任何曲面或曲线都可以看做点的集合轨迹，在这样的意义下，如果曲面S与三元方程： F(x, y, z) = 0 ...
机器学习中的超平面
mjlsuccess的专栏
02-27 3406
学习函数间隔（functional margin）和几何间隔（Geometric margin)时，补习了一下超平面的知识，记录如下。   一、仿射空间 （1）直线——1维仿射空间 给定n维的空间中，一条直线是方向向量v以及直线上的一点P决定。如下图所示： 图1：line figure illustration
超平面分离
最新发布
06-06
### 超平面分离的概念及其与感知机的关系 #### 超平面的定义 超平面是 \(R^n\) 空间内的一个 \(n-1\) 维仿射子空间。具体而言，超平面可以由线性方程 \(\omega \cdot x + b = 0\) 表示，其中 \(\omega\) 是超平面的法向量，\(b\) 是截距[^3]。超平面将特征空间分为两个部分，位于两部分的点（特征向量）被划分为正负两类。因此，超平面 \(S\) 被称为分离超平面（separating hyperplane）。 #### 超平面分离定理 超平面分离定理（Separating Hyperplane Theorem）表明，在特定条件下，两个不相交的凸集总可以用一个超平面进行分离[^2]。该定理的核心思想是通过找到一个合适的超平面，使得所有属于一个集合的点都在超平面的一侧，而另一个集合的点在另一侧。 #### 感知机中的超平面分离 感知机是一种二分类的线性分类模型，其目标是找到一个能够将输入空间中的实例划分为两类的分离超平面。为实现这一目标，感知机导入了基于误分类的损失函数，并利用梯度下降法对损失函数进行最优化求解[^4]。 在感知机中，超平面由公式 \(\omega \cdot x + b = 0\) 定义，其中 \(\omega\) 和 \(b\) 是需要学习的参数。训练过程中，算法不断调整这些参数，直到找到一个能够正确划分数据的超平面。对于线性可分的数据集，感知机算法能够保证收敛到一个解[^4]。 #### 超平面分离的原理 超平面分离的原理基于几何距离的概念。给定一个数据点 \(x_i\) 和其类别标签 \(y_i \in \{+1, -1\}\)，如果点 \(x_i\) 被正确分类，则满足条件 \(y_i (\omega \cdot x_i + b) > 0\)。否则，该点被视为误分类点。感知机通过最小化误分类点到超平面的距离来优化参数 \(\omega\) 和 \(b\)。每次迭代中，算法选取一个误分类点并更新参数，以减少误分类的可能性[^4]。 #### 示例代码 以下是一个简单的感知机实现，展示了如何通过超平面进行分离： ```python import numpy as np class Perceptron: def __init__(self, learning_rate=0.1, max_epochs=1000): self.learning_rate = learning_rate self.max_epochs = max_epochs self.w = None self.b = None def fit(self, X, y): n_samples, n_features = X.shape self.w = np.zeros(n_features) self.b = 0 for _ in range(self.max_epochs): misclassified = False for i in range(n_samples): if y[i] * (np.dot(self.w, X[i]) + self.b) <= 0: # 如果误分类 self.w += self.learning_rate * y[i] * X[i] self.b += self.learning_rate * y[i] misclassified = True if not misclassified: break def predict(self, X): return np.sign(np.dot(X, self.w) + self.b) # 示例用法 if __name__ == "__main__": X = np.array([[3, 3], [4, 3], [1, 1]]) y = np.array([1, 1, -1]) perceptron = Perceptron(learning_rate=0.1, max_epochs=1000) perceptron.fit(X, y) print("权重 w:", perceptron.w) print("偏置 b:", perceptron.b) print("预测结果:", perceptron.predict(X)) ``` 上述代码实现了感知机的基本训练和预测功能，展示了如何通过超平面进行分离。 ###
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