【HDU 6327】 暑期多校day3 Random Sequence （妙妙dp）

题目大意

给定一个正整数序列 $a[1..n]$，每个数在 $[1, m]$ 之间，有些数已知，有些数未知。
在未知数在 $[1, m]$ 之间随机的情况下，求以下值的期望：

$$\prod_{i=1}^{n-3} v[gcd(a_i,a_{i+1},a_{i+2},a_{i+3})] \qquad \quad 4 \leq n \leq 100 , 1 \leq m \leq 100$$

---

解题思路

设 $f[i][x][y][z]$ 表示考虑前 i 个位置，ai=x, gcd(ai, ai−1)=y, gcd(ai, ai−1, ai−2)=z 时的期望积。
枚举 ai+1 的值转移即可。
时间复杂度 O(nmS)，其中 S 表示 (x, y, z) 的状态数。
显然合法状态中 y|x, z|y，当 m = 100 即状态数最多时 S = 1471。

---

代码

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

const int maxn=103, moder=int(1e9)+7;
inline int mul(int a,int b) {return a=1ll*a*b%moder;}
inline int add(int &a,int b) {return a=(a+b<moder)?a+b:a+b-moder;}

int inv[maxn], dv[maxn][maxn], cnt[maxn];
int g[maxn][maxn];

int gcd(int n,int m) {
    if(!m) return n;
    return gcd(m,n%m);
}
int mpow(int a,int k) {
    int res=1;
    for(;k;k>>=1,a=mul(a,a)) if(k&1) res=mul(res,a);
    return res;
}
void init() {
    register int i,j;
    for(i=1;i<maxn;++i) g[i][0]=g[0][i]=i;
    for(i=1;i<maxn;++i) inv[i]=mpow(i,moder-2);
    for(i=1;i<maxn;++i) {
        cnt[i]=0;
        for(j=1;j<maxn;++j) {
            g[i][j]=gcd(i,j);
            if(j<=i && i%j==0) dv[i][++cnt[i]]=j;
        }
    }
    return;
}

#define for_state(x,y,z) for(x=1;x<=m;++x) for(k=1;k<=cnt[x];++k) for(y=dv[x][k],z=dv[y][l=1];l<=cnt[y];z=dv[y][++l])
int T,n,m;
int a[maxn], v[maxn];
int f[2][maxn][maxn][maxn];

int& nxt_f(int v,int id,int x,int y,int z) {
    return f[id^1][v][g[v][x]][g[v][y]];
}

void work() {
    scanf("%d%d",&n,&m);
    register int i,j,k,l,x,y,z,tmp;
    for(i=1;i<=n;++i) scanf("%d",&a[i]);
    for(i=1;i<=m;++i) scanf("%d",&v[i]);

    for_state(x,y,z) 
        f[1][x][y][z]=f[0][x][y][z]=0;
    if(a[1]) f[1][a[1]][a[1]][a[1]]=1;
    else for(i=1;i<=m;++i)
        f[1][i][i][i]=inv[m];

    for(i=2;i<=n;++i) {
        for_state(x,y,z)
            f[i&1][x][y][z]=0;
        for_state(x,y,z) {
            tmp=f[~i&1][x][y][z];
            if(!a[i]) tmp=mul(tmp,inv[m]);
            else {
                add(nxt_f(a[i],~i&1,x,y,z),(i<=3)?tmp:mul(tmp,v[g[a[i]][z]]));
                continue;
            }
            for(j=1;j<=m;++j) if(!a[i] || j==a[i])
                add(nxt_f(j,~i&1,x,y,z),(i<=3)?tmp:mul(tmp,v[g[j][z]]));
        }
    }
    int ans=0;
    for_state(x,y,z)
        add(ans,f[n&1][x][y][z]);
    printf("%d\n",ans);
    return;
}

int main() {
#ifndef ONLINE_JUDGE
    freopen("input.txt","r",stdin);
    freopen("output.txt","w",stdout);
#endif
    init();
    for(scanf("%d",&T);T;T--)
        work();

    return 0;
}