LibreOJ #2512.「BJOI2018」链上二次求和线段树

最新推荐文章于 2023-11-21 12:28:31 发布

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分类专栏：线段树

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本文介绍了一种针对链上节点进行批量修改和区间查询的高效算法。通过对前缀和及前缀和的前缀和的巧妙利用，结合线段树的数据结构，实现了对链上节点权值的快速修改与查询。适用于节点数量较大、操作频繁的问题场景。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

题意

有一个长度为n的序列a和m个操作，每个操作形如
操作1（修改）：给定链上两个节点u、v和一个整数d，表示将链上u到v唯一的简单路径上每个点权值都加上d。
操作2（询问）：给定两个正整数L、r，表示求链上所有节点个数大于等于L且小于等于r的简单路径节点权值和之和。
$n\le200000,m\le500000$

分析

我们设 $S_i$ 表示前缀和， $SS_i$ 表示前缀和的前缀和，那么要求的就是

\sum i = l r \sum j = l n S j - S j - i

$\sum_{i=l}^r\sum_{j=l}^nS_j-S_{j-i}$

= \sum i = l r (\sum j = l n S j - \sum j = 0 n - i S j)

$=\sum_{i=l}^r(\sum_{j=l}^nS_j-\sum_{j=0}^{n-i}S_j)$

= \sum i = l r (S S n - S S l - 1 - S S n - i)

$=\sum_{i=l}^r(SS_n-SS_{l-1}-SS_{n-i})$

= (r - l + 1) S S n - \sum i = l - 1 r - 1 S S i - \sum i = n - r n - l S S i

$=(r-l+1)SS_n-\sum_{i=l-1}^{r-1}SS_i-\sum_{i=n-r}^{n-l}SS_i$
那现在问题就在于如何维护

SSSS $SS$ 。
考虑一次修改

(l,r,v)(l,r,v) $(l,r,v)$ 对

SSSS $SS$ 的贡献。
对所有的

l≤i≤rl≤i≤r $l\le i\le r$ ，有

S S i + = ( i - l + 1 ) ( i - l + 2 ) 2 v

$SS_i+=\frac{(i-l+1)(i-l+2)}{2}v$
对所有的

r<ir<i $r<i$ ，有

S S i + = l e n ( l e n + 1 ) 2 v + l e n (i - r) v

$SS_i+=\frac{len(len+1)}{2}v+len(i-r)v$
其中

len=r−l+1len=r−l+1 $len=r-l+1$ 。
不难发现对

SSiSSi $SS_i$ 的贡献都是关于

ii的一个二次函数，直接用线段树维护即可。

代码

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstdlib>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#define ls d*2
#define rs d*2+1

typedef long long LL;

const int N=200005;
const int MOD=1000000007;
int ny2=(MOD+1)/2;

int n,m,a[N];
struct tree{int l,r,s,s0,s1,s2,tag0,tag1,tag2;}t[N*4];

int read()
{
    int x=0,f=1;char ch=getchar();
    while (ch<'0'||ch>'9'){if(ch=='-')f=-1;ch=getchar();}
    while (ch>='0'&&ch<='9'){x=x*10+ch-'0';ch=getchar();}
    return x*f;
}

void build(int d,int l,int r)
{
    if (l==r) {t[d].s=a[l];t[d].s1=l;t[d].s2=(LL)l*l%MOD;t[d].s0=1;return;}
    int mid=(l+r)/2;
    build(ls,l,mid);build(rs,mid+1,r);
    t[d].s=(t[ls].s+t[rs].s)%MOD;
    t[d].s0=(t[ls].s0+t[rs].s0)%MOD;
    t[d].s1=(t[ls].s1+t[rs].s1)%MOD;
    t[d].s2=(t[ls].s2+t[rs].s2)%MOD;
}

void mark(int d,int a,int b,int c)
{
    (t[d].tag0+=a)%=MOD;
    (t[d].tag1+=b)%=MOD;
    (t[d].tag2+=c)%=MOD;
    (t[d].s+=(LL)a*t[d].s0%MOD)%=MOD;
    (t[d].s+=(LL)b*t[d].s1%MOD)%=MOD;
    (t[d].s+=(LL)c*t[d].s2%MOD)%=MOD;
}

void pushdown(int d)
{
    int a=t[d].tag0,b=t[d].tag1,c=t[d].tag2;
    if (!a&&!b&&!c) return;
    t[d].tag0=t[d].tag1=t[d].tag2=0;
    mark(ls,a,b,c);
    mark(rs,a,b,c);
}

void ins(int d,int l,int r,int x,int y,int a,int b,int c)
{
    if (y<l||x>r) return;
    if (l<r) pushdown(d);
    if (x<=l&&r<=y) {mark(d,a,b,c);return;}
    int mid=(l+r)/2;
    if (x<=mid) ins(ls,l,mid,x,y,a,b,c);
    if (y>mid) ins(rs,mid+1,r,x,y,a,b,c);
    t[d].s=(t[ls].s+t[rs].s)%MOD;
}

int query(int d,int l,int r,int x,int y)
{
    if (y<l||x>r) return 0;
    if (l<r) pushdown(d);
    if (x<=l&&r<=y) return t[d].s;
    int mid=(l+r)/2;
    if (y<=mid) return query(ls,l,mid,x,y);
    else if (x>mid) return query(rs,mid+1,r,x,y);
    else return (query(ls,l,mid,x,y)+query(rs,mid+1,r,x,y))%MOD;
}

int main()
{
    n=read();m=read();
    for (int i=1;i<=n;i++) a[i]=read();
    for (int i=1;i<=n;i++) (a[i]+=a[i-1])%=MOD;
    for (int i=1;i<=n;i++) (a[i]+=a[i-1])%=MOD;
    build(1,1,n);
    while (m--)
    {
        int op=read(),l=read(),r=read();
        if (l>r) std::swap(l,r);
        if (op==1)
        {
            int v=read(),len=r-l+1;
            ins(1,1,n,l,r,(LL)(l-1)*(l-2)%MOD*ny2%MOD*v%MOD,-(LL)ny2*(l*2-3)%MOD*v%MOD,(LL)ny2*v%MOD);
            ins(1,1,n,r+1,n,(LL)(len+1)*len%MOD*ny2%MOD*v%MOD-(LL)r*v%MOD*len%MOD,(LL)v*len%MOD,0);
        }
        else
        {
            int ans=(LL)(r-l+1)*query(1,1,n,n,n)%MOD;
            (ans-=query(1,1,n,l-1,r-1))%=MOD;
            (ans-=query(1,1,n,n-r,n-l)%MOD)%=MOD;
            printf("%d\n",(ans+MOD)%MOD);
        }
    }
    return 0;
}