LibreOJ #6040.「雅礼集训 2017 Day5」矩阵 线性代数+高斯消元+dp

最新推荐文章于 2021-12-22 14:43:02 发布
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该博客探讨了如何解决一个涉及矩阵线性代数的问题，其中给定一个01矩阵C，目标是找到满足特定模运算条件的矩阵对(A, B)。通过分析矩阵的秩和高斯消元法，博主提出了利用动态规划进行计算的方法，并给出了问题的解决方案。" 48898949,5032843,UML详解：九种核心模型图,"['UML', '系统建模', '软件设计']

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题意

给一个n∗nn∗n的0101矩阵CC，问有多少个 01 矩阵对(A,B)(A,B)满足A∗B≡C(mod2)A∗B≡C(mod2)。
n≤2000n≤2000

分析

咋一看一点思路都没有。
首先不难发现，CC的每个列向量必然在 A 的列向量所组成的线性空间内，这个通过矩阵乘法不难得到。
那么当我们确定了矩阵AA和 C

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LOJ#6040. 「雅礼集训 2017 Day5」矩阵
DZYO的博客
06-01 1080
传送门 题解： 我们考虑一组A∗B≡C(mod2)A∗B≡C(mod2)A*B \equiv C \pmod{2}的一组合法解中A,CA,CA,C的关系。 首先CCC的列向量一定在AAA的列向量所组成的线性空间里（根据矩阵乘法的过程）。 具体，我们设AAA的秩为xxx，那么合法BBB的个数就有(2n−x)n(2n−x)n(2^{n-x})^n 个（因为每一列对应一个异或方程组，自由变量都有...
LibreOJ #6039.「雅礼集训 2017 Day5」珠宝 dp+决策单调性+分治
beginend
06-22 996
题意 有nnn件物品，每件物品有一个价格cicic_i和价值viviv_i，现在对于所有的1≤i≤k1≤i≤k1\le i\le k，求出用iii元最多可以得到多大价值的物品。 n≤1000000,k≤50000,1≤ci≤300,1≤vi≤109n≤1000000,k≤50000,1≤ci≤300,1≤vi≤109n\le1000000,k\le50000,1\le c_i\le300,1\...
loj#6040. 「雅礼集训 2017 Day5」矩阵（线性代数+递推）
weixin_33964094的博客
03-05 187
题面 传送门 题解 我的线代学得跟屎一样看题解跟看天书一样所以不要指望这题我会写题解 这里 //minamoto #include<bits/stdc++.h> #define R register #define fp(i,a,b) for(R int i=a,I=b+1;i<I;++i) #define fd(i,a,b) for(R int i=a,I=b-1;i>I...
[ 分治 决策单调性优化DP ] LOJ#6039. 「雅礼集训 2017 Day5」珠宝
gjghfd
03-14 871
设 fi,jfi,jf_{i,j} 表示售价 ≤i≤i\le i 的珠宝，使用 jjj 万元的最大吸引力。转移方程很容易写出。 因为售价相同的珠宝肯定是从最大吸引力开始取的，所以转移的函数是上凸的。 将 jjj 按 j&nbsp;mod&nbsp;ij&nbsp;mod&nbsp;ij~mod~i 分类，每一类的转移满足决策单调性，然后就可以用分治做了。 时间复杂度 O(maxciklogk...
LOJ#6038. 「雅礼集训 2017 Day5」远行（LCT）
weixin_34413065的博客
04-15 113
题面 传送门 题解 要不是因为数组版的\(LCT\)跑得实在太慢我至于去学指针版的么……而且指针版的完全看不懂啊…… 首先有两个结论 1.与一个点距离最大的点为任意一条直径的两个端点之一 2.两棵树之间连一条边新树直径的端点一定是第一棵树直径的两个端点和第二颗树直径的两个端点这四个点之二 然后用并查集维护联通块的直径就行了。注意因为这里强制在线，所以得用\(LCT\)来维护距离 并不建议看代码因为...
「雅礼集训 2017 Day5」珠宝
weixin_34358092的博客
03-01 317
题目描述 Miranda 准备去市里最有名的珠宝展览会，展览会有可以购买珠宝，但可惜的是只能现金支付，Miranda 十分纠结究竟要带多少的现金，假如现金带多了，就会比较危险，假如带少了，看到想买的右买不到。展览中总共有N种珠宝，每种珠宝都只有一个，对于第i种珠宝，它的售价为Ci​万元，对 Miranda 的吸引力为Vi​。Miranda 总共可以从银行中取出K万元，现在她想知道...
[LOJ#6039].「雅礼集训 2017 Day5」珠宝[决策单调性]
aqw145212的专栏
01-17 520
题意 题目链接 分析 注意到本题的 \(C\) 很小，考虑定义一个和 \(C\) 有关的状态。 记 \(f(x,j)\) 表示考虑到了价格为 \(x\) 的物品，一共花费了 \(j\) 元的最大收益。将价格为 \(x\) 的物品按照收益从大到小排序，记这个数组为 \(w\) ，不难发现我们选择的一定是 \(w\) 的一段前缀的形式。 将所有的 \(j\) 按照模 \(x\) 的余数分类...
ZCMU-2035 #6035. 「雅礼集训 2017 Day4」洗衣服 贪心+思路
安得广厦千万间的博客
07-11 909
链接点击打开链接你现在要洗 l 件衣服。你有 n  台洗衣机和 m 台烘干机。由于你的机器非常的小，因此你每次只能洗涤（烘干）一件衣服。第 i 台洗衣机洗一件衣服需要 w_i分钟，第 i  台烘干机烘干一件衣服需要d_i 分钟。请问把所有衣服洗干净并烘干，最少需要多少时间？假设衣服在机器间转移不需要时间，并且洗完的衣服可以过一会再烘干。Input输入文件的第一行三个整数 l 、n 和 m。第二行 ...
#6029. 【雅礼集训 2017 Day1】市场
Follow My Heart
10-15 1033
#6029. 「雅礼集训 2017 Day1」市场 题目描述 从前有一个贸易市场，在一位执政官到来之前都是非常繁荣的，自从他来了之后，发布了一系列奇怪的政令，导致贸易市场的衰落。 有 n nn 个商贩，从 0∼n−1 0 \sim n - 10∼n−1 编号，每个商贩的商品有一个价格 ai a_ia​i​​，有两种政令： l,r,c l, r, cl,r,c，对于 i∈
矩阵[雅礼集训 2017 Day1]
01-06 85
SOL 奇奇怪怪的贪心（你也不要问我为什么） #include<bits/stdc++.h> #define N 1007 int f[N][N],sum,ans,Ha,bo,n,Ans; #define MARICLE __attribute__((optimize("-O3"))) char ch,mp[N][N]; using namespace std...
LibreOJ 题解汇总
weixin_30235225的博客
02-20 1148
目录 #1. A + B Problem #2. Hello, World! #3. Copycat #4. Quine #7. Input Test #100. 矩阵乘法 #101. 最大流 #102. 最小费用流 ...
loj6030 「雅礼集训 2017 Day1」矩阵
aklm45097的博客
06-11 234
传送门：https://loj.ac/problem/6030 【题解】 以下把白称为0，黑称为1. 发现只有全空才是无解，否则考虑构造。 每一列，只要有0的格子都需要被赋值1次，所以设有x列有含有0的格子，则至少要赋值x次。 现在我们就需要一个全1的行来给这些有0的列赋值。 考虑构造一个全1的行。我们枚举第i行，假装要把他弄成全1的。 设第i行的0的数量为y，那么考虑第i...
#6039. 「雅礼集训 2017 Day5」珠宝
Freopen的博客
11-06 1005
题目描述 Miranda 准备去市里最有名的珠宝展览会，展览会有可以购买珠宝，但可惜的是只能现金支付，Miranda 十分纠结究竟要带多少的现金，假如现金带多了，就会比较危险，假如带少了，看到想买的右买不到。展览中总共有 N 种珠宝，每种珠宝都只有一个，对于第 i 种珠宝，它的售价为 Ci​ 万元，对 Miranda 的吸引力为 Vi​ 。Miranda 总共可以从银行中取出 K万元，现在她想...
【LOJ6039】【雅礼集训 2017 Day5】珠宝（DP，决策单调性）
დ♂Hany01's Blog Space♂ღ
08-28 736
Description 有 NNN 个珠宝 , 每个珠宝价值 CiCiC_i , 能产生 ViViV_i 的愉悦度 , 现在你有 MMM元 , 问你最多能获得多大的愉悦度 , 对于 M∈[1,K]M∈[1,K]M \in [1, K] 回答问题 . N≤106,K≤104,Ci≤300N≤106,K≤104,Ci≤300N\le 10^6, K\le 10 ^ 4, \mathbf{C_i \...
LOJ6039. 「雅礼集训 2017 Day5」珠宝【决策单调性优化DP】【分治】【思维好题】...
weixin_30565199的博客
09-30 295
LINK 懒得搬题面 简要题意:n个物品，每个物品有一个价格和一个吸引力，问你对于\(i \in [1,k]\)，花费i的价格能得到的最大吸引力 其中价格的范围很小，在\([1,300]\)范围内 思路 首先想到一个dp \(dp_{i,j}\)表示用对于价格小于等于i的物品花费j的价格能得到的最大吸引力 然后对于相等的价格的物品，有一个贪心的的思想就是个数确定的时候选取最大吸引力的几个 这个可...
Loj#6039-「雅礼集训 2017 Day5」珠宝【四边形不等式,dp】
QuantAsk
12-22 605
正题 题目链接:https://loj.ac/p/6039 题目大意 有nnn个物品，第iii个费用为wiw_iwi​，价值为viv_ivi​，对于k∈[1,m]k\in[1,m]k∈[1,m]求费用为mmm时能获得的最大价值。 1≤n≤106,1≤m≤5×104,1≤wi≤300,1≤vi≤1091\leq n\leq 10^6,1\leq m\leq 5\times 10^4,1\leq w_i\leq 300,1\leq v_i\leq 10^91≤n≤106,1≤m≤5×104,1≤wi​≤300
[loj6039][雅礼集训 2017 Day5]珠宝——决策单调性+分治
ylsoi的博客
09-15 898
题目大意： Miranda 准备去市里最有名的珠宝展览会，展览会有可以购买珠宝，但可惜的是只能现金支付，Miranda 十分纠结究竟要带多少的现金，假如现金带多了，就会比较危险，假如带少了，看到想买的右买不到。展览中总共有NNN种珠宝，每种珠宝都只有一个，对于第iii种珠宝，它的售价为CiCiC_i​万元，对 Miranda 的吸引力为ViViV_i​​ 。 Miranda 总共可以从银行中取...
【刷题】LOJ 6038 「雅礼集训 2017 Day5」远行
weixin_30567471的博客
07-03 186
题目描述 Miranda 生活的城市有 \(N\) 个小镇，一开始小镇间没有任何道路连接。随着经济发现，小镇之间陆续建起了一些双向的道路但是由于经济不太发达，在建设过程中，会保证对于任意两个小镇，最多有一条路径能互相到达。有的时候 Miranda 会从某个小镇开始进行徒步旅行，每次出发前，她都想选择一个她能到达的最远的小镇作为终点，并且她在行走过程中是不会走回头路的，为了估算这次旅行的时间，她会需...
[loj6039]「雅礼集训 2017 Day5」珠宝 dp+决策单调性+分治
weixin_30398227的博客
12-27 197
https://loj.ac/problem/6039 我们设dp[i][j]表示考虑所有价值小于等于i的物品，带了j块钱的最大吸引力。 对于ci相同的物品，我们一定是从大到小选k个物品，又发现最大的k个的价值在k变大的时候增长率是单调减的。 同时对于同样的ci，被转移和转移到的状态mod ci同余。 这些dp值也具有单调性，因此这个dp具有决策单调性。 我们用分治优化转移。负责度...
雅礼集训 2017 day1
最新发布
04-30
### 关于雅礼集训 2017 Day1 的题目及解析 #### 题目概述 根据已知引用内容[^3]，雅礼集训 2017 Day1 的核心问题是关于矩阵操作的优化问题。给定一个 \(n \times m\) 的字符矩阵，其中 `#` 表示黑色格子，`.` 表示白色格子。目标是最小化将整个矩阵变为全黑所需的步数。 --- #### 解析与算法思路 ##### 输入描述 输入的第一行为两个整数 \(n\) 和 \(m\)，分别代表矩阵的行数和列数。接下来 \(n\) 行每行包含长度为 \(m\) 的字符串，表示矩阵的内容。 ##### 输出描述 输出最小的操作次数使得整个矩阵变成全是黑色格子的状态。如果没有可行方案，则输出 `-1`。 --- ##### 算法设计 1. **可行性判断** 如果初始矩阵没有任何黑色格子 (`#`) 存在，则无法通过任何有限次操作使矩阵变黑，因此直接返回 `-1`[^4]。 2. **计算最少步数** 对于每一行，定义两种可能的操作方式： - 将该行全部涂黑。 - 不改变该行状态，仅依赖后续列操作来覆盖剩余白格。 同样地，对于每一列也存在类似的策略选择。最终的目标是综合考虑行列操作的影响，找到全局最优解。 3. **动态规划或贪心求解** 使用简单的遍历方法统计各行列中的黑白分布情况，并基于此决定最佳行动顺序。特别注意边界条件处理以及特殊情况下的额外开销评估。 ```cpp #include <bits/stdc++.h> using namespace std; const int MAXN = 1e3 + 5; int n, m, h[MAXN], l[MAXN]; char s[MAXN][MAXN]; int main(){ cin >> n >> m; bool has_black = false; for (int i = 1; i <= n; ++i){ cin >> (s[i]+1); for (int j = 1; j <= m; ++j){ if (s[i][j] == &#39;#&#39;){ has_black = true; h[i]++; l[j]++; } } } if (!has_black){ cout << "-1"; return 0; } int res = INT_MAX; for (int i = 1; i <= n; ++i){ res = min(res, m - h[i] + !l[i]); } int extra_cost = 0; for (int j = 1; j <= m; ++j){ if (l[j] != n) extra_cost += 1; } cout << res + extra_cost; } ``` 上述代码实现了基本逻辑框架，包括读取数据、初步分析是否存在解决方案的可能性以及最后一步汇总总成本的过程[^3]。 --- #### 复杂度分析 时间复杂度主要取决于两次嵌套循环扫描整个矩阵所需的时间量级 O(n*m)，空间消耗同样维持在线性范围内 O(n+m)。 --- #### 注意事项 - 当前实现假设所有测试实例均满足合理范围内的尺寸规格；实际应用时需增加更多健壮性的错误检测机制。 - 结果验证阶段应充分考虑到极端情形比如完全空白或者满布障碍物等情况是否被妥善处置。 ---
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