LibreOJ #2551.「JSOI2018」列队可持久化线段树

最新推荐文章于 2022-06-04 14:38:40 发布

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本文介绍了一种使用主席树进行区间查询的优化算法，该算法能在O(nlog²n)的时间复杂度内解决特定区间操作问题。通过对每个数的系数进行1或-1的选择，文章详细阐述了如何找到关键分界点并实现高效查询。

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题意

这里写图片描述
$n,m\le5*10^5,1\le K,a_i\le10^6,a_i$ 两两不同。

分析

只需考虑每一个数的系数是1还是-1。设区间内的学生按坐标从小到大排序后为 $a_1,a_2,...,a_k$ ，要求集合的区间为 $[l,r]$ ，不难发现若某个 $i$ 满足 $a_i\ge l+i-1$ ，则从 $a_i$ 开始，学生坐标的系数都是1，集合坐标的系数都是-1，然后就做完了。
问题在于如何找到分界点。
不难想到一个二分+主席树求区间k大的 $O(nlog^2n)$ 做法，然而并不能通过。
仔细思考一下会发现其实只要在主席树上二分就好了，具体来说就是按照左儿子中学生数量与集合位置的数量的相对大小来讨论下就好了。

代码

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstdlib>
#include<cstring>
#include<algorithm>

typedef long long LL;

const int N=500005;
const int inf=2000000;

int n,m,sz,rt[N];
LL ans;
struct tree{int l,r,s,mx;LL w;}t[N*25];

int read()
{
    int x=0,f=1;char ch=getchar();
    while (ch<'0'||ch>'9'){if(ch=='-')f=-1;ch=getchar();}
    while (ch>='0'&&ch<='9'){x=x*10+ch-'0';ch=getchar();}
    return x*f;
}

LL get_sum(int l,int r)
{
    if (l>r) return 0;
    return (LL)(l+r)*(r-l+1)/2;
}

void ins(int &d,int l,int r,int x)
{
    int p=d;d=++sz;t[d]=t[p];t[d].s++;t[d].w+=(LL)x;t[d].mx=std::max(t[d].mx,x);
    if (l==r) return;
    int mid=(l+r)/2;
    if (x<=mid) ins(t[d].l,l,mid,x);
    else ins(t[d].r,mid+1,r,x);
}

void query(int d,int p,int l,int r,int x,int y)
{
    if (t[d].s-t[p].s==0||l==r) return;
    int mid=(l+r)/2,u=t[t[d].l].s-t[t[p].l].s,v=std::max(0,mid-x+1);
    if (y<=mid) u=t[t[d].r].s-t[t[p].r].s,ans+=t[t[d].r].w-t[t[p].r].w-get_sum(y-u+1,y),query(t[d].l,t[p].l,l,mid,x,y-u);
    else if (x>mid) ans+=get_sum(x,x+u-1)-(t[t[d].l].w-t[t[p].l].w),query(t[d].r,t[p].r,mid+1,r,x+u,y);
    else if (u>v) ans+=get_sum(x,x+u-1)-(t[t[d].l].w-t[t[p].l].w),query(t[d].r,t[p].r,mid+1,r,x+u,y);
    else if (u==v)
    {
        if (t[t[d].l].mx!=t[t[p].l].mx&&t[t[d].l].mx==mid) ans+=t[t[d].r].w-t[t[p].r].w-get_sum(mid+1,y),query(t[d].l,t[p].l,l,mid,x,mid);
        else ans+=get_sum(x,mid)-(t[t[d].l].w-t[t[p].l].w),query(t[d].r,t[p].r,mid+1,r,mid+1,y);
    }
    else ans+=t[t[d].r].w-t[t[p].r].w-get_sum(x+u,y),query(t[d].l,t[p].l,l,mid,x,x+u-1);
}

int main()
{
    n=read();m=read();
    for (int i=1,x;i<=n;i++) x=read(),rt[i]=rt[i-1],ins(rt[i],1,inf,x);
    while (m--)
    {
        int l=read(),r=read(),K=read();
        ans=0;
        query(rt[r],rt[l-1],1,inf,K,K+r-l);
        printf("%lld\n",ans);
    }
    return 0;
}