bzoj 3118: Orz the MST 单纯形+对偶原理

最新推荐文章于 2019-09-16 15:47:25 发布

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对偶

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该博客介绍了如何解决一个基于最小生成树的优化问题，其中每条边权重变化的成本不同。作者指出，问题可以转化为线性规划模型，并利用对偶原理转换目标函数以求最小值。通过建立特定的图并将边视为点，问题最终可以通过单纯形算法求解，博主分享了一次成功的AC（Accepted）经历。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

题意

给出一个带权的连通无向图，对于其中的每条边i，在原来边权的基础上，其边权每增加1需要付出的代价为Ai，边权每减少1需要付出的代价为Bi，现在指定该图的一棵生成树，求通过修改边权，使得该生成树成为图的一棵最小生成树，需要付出的最少总代价。
1<=N<=300, 1<=M, Wi, Ai, Bi<=1000。

分析

这题跟shoi的某题很类似，只不过那题修改的代价均为1，这样的话就可以用km算法来搞。
这题的话，还是一样的建图，把边看成点，然后搞出若干个限制，就变成了线性规划的模型。只不过这个模型的限制都是 $>=$ ，目标函数要取的是最小值，于是我们可以用对偶原理来转化一下，具体来说就是：
这里写图片描述
然后就可以直接上单纯形了。
一次AC是很资辞的。

代码

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstdlib>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<cmath>
using namespace std;

const int N=305;
const int M=1005;
const double eps=1e-8;
const int inf=1000000000;

int n,m,cnt,edg,tot,last[N],fa[N],dep[N],val[N],w[N];
double c[N*M],b[N+M],a[N+M][N*M/100],ans;
struct edge{int to,val,w,next;}e[N*2];
struct data{int x,y,val,w;}ret[M];

int read()
{
    int x=0,f=1;char ch=getchar();
    while (ch<'0'||ch>'9'){if(ch=='-')f=-1;ch=getchar();}
    while (ch>='0'&&ch<='9'){x=x*10+ch-'0';ch=getchar();}
    return x*f;
}

void addedge(int u,int v,int val,int w)
{
    e[++cnt].to=v;e[cnt].val=val;e[cnt].w=w;e[cnt].next=last[u];last[u]=cnt;
    e[++cnt].to=u;e[cnt].val=val;e[cnt].w=w;e[cnt].next=last[v];last[v]=cnt;
}

void dfs(int x)
{
    dep[x]=dep[fa[x]]+1;
    for (int i=last[x];i;i=e[i].next)
        if (e[i].to!=fa[x]) fa[e[i].to]=x,val[e[i].to]=e[i].val,w[e[i].to]=e[i].w,dfs(e[i].to);
}

void build(int id)
{
    int x=ret[id].x,y=ret[id].y;
    if (dep[x]<dep[y]) swap(x,y);
    while (dep[x]>dep[y])
    {
        if (val[x]>ret[id].val) tot++,a[x][tot]=a[id+n][tot]=1,c[tot]=val[x]-ret[id].val;
        x=fa[x];
    }
    while (x!=y)
    {
        if (val[x]>ret[id].val) tot++,a[x][tot]=a[id+n][tot]=1,c[tot]=val[x]-ret[id].val;
        if (val[y]>ret[id].val) tot++,a[y][tot]=a[id+n][tot]=1,c[tot]=val[y]-ret[id].val;
        x=fa[x];y=fa[y];
    }
}

void work(int n,int m,int e,int l)
{
    for (int i=1;i<=n;i++) if (i!=e) a[l][i]/=a[l][e];
    b[l]/=a[l][e];a[l][e]=1/a[l][e];
    for (int i=1;i<=m;i++)
    {
        if (i==l||fabs(a[i][e])<eps) continue;
        for (int j=1;j<=n;j++) if (j!=e) a[i][j]-=a[l][j]*a[i][e];
        b[i]-=b[l]*a[i][e];a[i][e]=-a[l][e]*a[i][e];
    }
    ans+=b[l]*c[e];
    for (int i=1;i<=n;i++) if (i!=e) c[i]-=c[e]*a[l][i];
    c[e]=-c[e]*a[l][e];
}

void simplex(int n,int m)
{
    while (1)
    {
        int e=0;
        for (int i=1;i<=n;i++) if (c[e=i]>eps) break;
        if (c[e]<eps) break;
        double tmp=inf;int l=0;
        for (int i=1;i<=m;i++)
            if (a[i][e]>eps&&b[i]/a[i][e]<tmp) tmp=b[i]/a[i][e],l=i;
        work(n,m,e,l);
    }
}

int main()
{
    n=read();m=read();
    for (int i=1;i<=m;i++)
    {
        int u=read(),v=read(),w=read(),ty=read(),a=read(),b=read();
        if (ty==1) addedge(u,v,w,b);
        else ret[++edg]=(data){u,v,w,a};
    }
    dfs(1);
    for (int i=1;i<=edg;i++) build(i);
    for (int i=1;i<=n;i++) b[i]=w[i];
    for (int i=1;i<=edg;i++) b[i+n]=ret[i].w;
    simplex(tot,n+edg);
    printf("%.0lf",ans);
    return 0;
}