bzoj 4827: [Hnoi2017]礼物 fft

最新推荐文章于 2020-08-13 20:16:36 发布

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分类专栏：快速傅里叶变换

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本文介绍了一种利用快速傅立叶变换（FFT）解决两个序列差异值最小化的问题。通过对序列的操作转换成卷积形式，并通过FFT进行高效计算，最终求得最小差异值。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

题意

有两个长度为n的序列，序列元素为[1,m]。
定义两个序列的差异值为 $\sum_{i=1}^n(x[i]-y[i])^2$
现在可以给第一个序列加上一个长度c，第二个序列可以任意旋转，问最小差异值。
n<=50000,m<=100

分析

如果不是在知乎上看到这题正解是fft的话我可能不会那么快就想到正解吧。。。
不过这题的确挺裸的。
把式子拆开就变成了 $\sum_{i=1}^nx[i]^2+y[i]^2-2x[i]*y[i]$
显然我们要求最大的 $2*\sum_{i=1}^nx[i]*y[i]$
把y翻转，变成了 $2*\sum_{i=1}^nx[i]*y[n-i+1]$
卷积形式，直接上fft即可。
但你以为这样就做完了吗？那就真的是naive了。
常数c的话我们可以先不管，因为事后可以枚举所有可能的答案和c，然后找最小的 $ans-c*\sum_{i=1}^nb[i]$ 就好了。
那旋转我们要怎么处理呢？
把两个序列画出来，我么会发现如果旋转一定位置的话，那么答案就是两个序列前i部分卷起来加上把剩下部分卷起来的和就是答案了。
那么只要正着反着分别做一次fft即可。

代码

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstdlib>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<complex>
#include<cmath>
#define pi acos(-1)
using namespace std;

typedef complex<double> com;

const int N=200005;

int n,m,rev[N],a[N],b[N];
com b1[N],b2[N],a1[N],a2[N];

void fft(com *a,int n,int f)
{
    for (int i=0;i<n;i++) if (i<rev[i]) swap(a[i],a[rev[i]]);
    for (int i=1;i<n;i*=2)
    {
        com wn(cos(pi/i),f*sin(pi/i));
        for (int j=0;j<n;j+=i*2)
        {
            com w(1,0);
            for (int k=0;k<i;k++)
            {
                com u=a[j+k],v=a[j+k+i]*w;
                a[j+k]=u+v;a[j+k+i]=u-v;
                w*=wn;
            }
        }
    }
    if (f==-1) for (int i=0;i<n;i++) a[i]/=n;
}

int main()
{
    freopen("gift.in","r",stdin);freopen("gift.out","w",stdout);
    scanf("%d%d",&n,&m);
    int mxn,lg=0,s=0;
    for (mxn=1;mxn<=n*2;mxn*=2,lg++);
    for (int i=0;i<mxn;i++) rev[i]=(rev[i>>1]>>1)|((i&1)<<(lg-1));
    for (int i=1;i<=n;i++) scanf("%d",&a[i]),a1[i]=a[i],a2[n-i+1]=a[i];
    for (int i=1;i<=n;i++) scanf("%d",&b[i]),b1[n-i+1]=b[i],b2[i]=b[i],s+=b[i];
    fft(b1,mxn,1);fft(b2,mxn,1);fft(a1,mxn,1);fft(a2,mxn,1);
    for (int i=0;i<mxn;i++) a1[i]*=b1[i],a2[i]*=b2[i];
    fft(a1,mxn,-1);fft(a2,mxn,-1);
    int ans=1e9;
    for (int l=-m+1;l<m;l++)
    {
        int w=0;
        for (int i=1;i<=n;i++) w+=(a[i]+l)*(a[i]+l)+b[i]*b[i];
        for (int i=1;i<=n;i++)
        {
            int v=(int)(a1[i].real()+0.1)+(int)(a2[n-i+2].real()+0.1)+s*l;
            ans=min(ans,w-2*v);
        }
    }
    printf("%d",ans);
    return 0;
}