bzoj 4819: [Sdoi2017]新生舞会二分答案+费用流

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费用流

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本文介绍了一种通过二分图匹配解决情侣配对问题的方法，旨在寻找最优搭配方案，使得权值比最大。利用二分法及最大费用流算法实现解决方案。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

题意

有n对男女要配对，每对不同的男女会产生两个不同的权值a和b，求一种搭配方案使得(a’1+a’2+…+a’n)/(b’1+b’2+…+b’n)最大。
n<=100

分析

二分答案，设其为ans，则必然所有的(a’1+a’2+…+a’n)/(b’1+b’2+…+b’n)<=ans都满足，化简一下可以得到(a1-ans*b1)+(a2-ans*b2)+…+(an-ans*bn)<=0
那么将二分图每条边的权值变为a-ans*b然后看看最大费用是否不大于0即可。

代码

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstdlib>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<queue>
using namespace std;

const int N=205;
const double inf=100000000;
const double eps=1e-8;

int n,cnt,last[N],a[N][N],b[N][N],vis[N],s,t,pre[N],app[N];
struct edge{int from,to,c,next;double w;}e[N*N];
double dis[N],ans;
queue <int> q;

void addedge(int u,int v,int c,double w)
{
    e[++cnt].from=u;e[cnt].to=v;e[cnt].c=c;e[cnt].w=w;e[cnt].next=last[u];last[u]=cnt;
    e[++cnt].from=v;e[cnt].to=u;e[cnt].c=0;e[cnt].w=-w;e[cnt].next=last[v];last[v]=cnt;
}

bool spfa()
{
    for (int i=s;i<=t;i++) dis[i]=-inf,app[i]=0;
    dis[s]=0;vis[s]=1;
    q.push(s);
    while (!q.empty())
    {
        int u=q.front();
        q.pop();
        app[u]=1;
        for (int i=last[u];i;i=e[i].next)
            if (e[i].c&&dis[u]+e[i].w>dis[e[i].to])
            {
                dis[e[i].to]=dis[u]+e[i].w;
                pre[e[i].to]=i;
                if (!vis[e[i].to])
                {
                    vis[e[i].to]=1;
                    q.push(e[i].to);
                }
            }
        vis[u]=0;
    }
    if (!app[t]) return 0;
    else return 1;
}

void mcf()
{
    int x=t,mn=inf;
    while (pre[x])
    {
        mn=min(mn,e[pre[x]].c);
        x=e[pre[x]].from;
    }
    ans+=mn*dis[t];
    x=t;
    while (pre[x])
    {
        e[pre[x]].c-=mn;
        e[pre[x]^1].c+=mn;
        x=e[pre[x]].from;
    }
}

bool check(double mid)
{
    cnt=1;
    memset(last,0,sizeof(last));
    for (int i=1;i<=n;i++) addedge(s,i,1,0);
    for (int i=1;i<=n;i++) addedge(i+n,t,1,0);
    for (int i=1;i<=n;i++)
        for (int j=1;j<=n;j++)
            addedge(i,j+n,1,a[i][j]-1.0*mid*b[i][j]);
    ans=0;
    while (spfa()) mcf();
    if (ans<=0) return 1;
    else return 0;
}

int main()
{
    scanf("%d",&n);
    for (int i=1;i<=n;i++)
        for (int j=1;j<=n;j++)
            scanf("%d",&a[i][j]);
    for (int i=1;i<=n;i++)
        for (int j=1;j<=n;j++)
            scanf("%d",&b[i][j]);
    double l=0,r=10000;
    s=0;t=n*2+1;
    while (r-l>=eps)
    {
        double mid=(l+r)/2;
        if (check(mid)) r=mid;
        else l=mid;
    }
    printf("%.6lf",l);
    return 0;
}