python模拟退火求解TSP问题

本文介绍了如何利用模拟退火算法解决旅行商问题(TSP)。首先描述了问题背景,然后详细阐述了模拟退火算法的原理,接着展示了Python实现的代码,并给出了运行结果。在TSP问题中,算法从随机路径开始,通过在一定概率下接受比当前差的状态逐步寻找最优路径。最终,程序在不断降温的过程中找到最短路径并输出。

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问题描述

利用模拟退火算法。求解30个城市的TSP问题。两城市之间距离用直角坐标系中的两点距离公式。
{41,94},{37,84},{54,67},{25,62},{7,64},{2,99},{68,58},{71,44},{54,62},{83,69}
{64,60},{18,54},{22,60},{83,46},{91,38},{25,38},{24,42},{58,69},{71,71},{74,78}
{87,76},{18,40},{13,40},{82,7},{62,32},{58,35},{45,21},{41,26},{44,35},{4,50}

思路

模拟退火简介

  • (1)随机挑选一个单元k,并给它一个随机的位移,求出系统因此而产生的能量变化ΔEk。
  • (2)若ΔEk⩽0,该位移可采纳,而变化后的系统状态可作为下次变化的起点;
    若ΔEk>0,位移后的状态可采纳的概率为
    运行结果
    式中T为温度,然后从(0,1)区间均匀分布的随机数中挑选一个数RR,若R<Pk,则将变化后的状态作为下次的起点;否则,将变化前的状态作为下次的起点。
  • (3)转第(1)步继续执行,知道达到平衡状态为止。

TSP问题

模拟退火的关键是在一定概率P下接受比当前差的状态,而概率P又与当前状态有关,当前状态越差,接受概率P越大,当前状态越好,接受概率P越小。
TSP问题,

  1. 初始化,模拟退火中用温度来观察程序进程,这里模拟温度,设置t0=100,从100°开始降温,程序停止条件t0==1,温度下降的速率为alpha=0.9,在每个温度状态下,程序要尝试随机生成路径TIME次,TIME=1000
  2. 创建城市坐标矩阵pointspoint[i][0]表示第i个城市的x坐标,point[i][1]表示第i个城市的y坐标
  3. 先随机生成一条路径way,通过函数calWayDis(way)计算路径总长度waydis
  4. 再随机选择2个城市city1city2,交换way中这两个城市的位置,形成新的路径tempway
tempway[city1],tempway[city2]=tempway[city2],tempway[city1]
  1. calWayDis(tempway)计算tempway的路径长度tempdis
  2. 对比:
    1.如果:
    新的路径长度更小,更新路径,
     并与当前最小路径对比
       如果小于当前最小路径,更新最小路径与最小值
if tempdis<waydis:
	way = tempway.copy()
	waydis = tempdis
if tempdis<bestdis:
	bestway = tempway.copy()
	bestdis = tempdis
	draw(bestway,bestdis)

2. 如果:
新的路径长度不小于现有路径长度,则根据模拟退火的概率,去接受

if tempdis>waydis:
if np.random.rand()<np.exp(-(tempdis-waydis)/(t0)):
way = tempway.copy()
waydis = tempdis
  1. 步骤4、5、6在某个t0状态,迭代TIME次,每次way会交换两个城市生成tempway,然后t0=t0*alph温度状态改变重复步骤4、5、6,直到t0=1,得到目前最优的路径
while t0>t[0]:
	步骤4
	步骤5
	步骤6
	t0 *= alpha
  1. 打印出得到的最优解,路径和路径长度

代码

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt 
import pdb
import imageio
import shutil
import os 

# 生成距离矩阵
def getDismat(points):
	dismat = np.zeros((N,N))
	for i in range(N):
		for j in range(i,N):
			dismat[i][j] = dismat[j][i] = np.linalg.norm(points[i]-points[j])
	return dismat	

def init():
	alpha = 0.9
	t = (1,100)
	TIME = 1000
	way = np.arange(N)
	waydis = calWayDis(way
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