2018 Multi-University Training Contest 1 RMQ Similar Sequence-优快云博客

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本文探讨了RMQ问题的解决方法，利用笛卡尔树的特性，通过建立满足二叉搜索树和堆性质的树结构，求解序列中最大值的最小位置问题。文章详细解释了树的构建过程，并通过代码示例展示了如何计算B序列的期望重量。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

题意：序列A，定义RMQ(A,l,r) 为A序列 l到r中最大值的最小位置i，RMQ相似为对于A,B两个序列，

使得任意l ,r ， RMQ（A,l,r）= RMQ（B,l,r）现在B序列元素的值均在[0,1]随机。如果B与A RMQ相似，

则B的重量为B元素的和，否则为0。求B的期望重量。

题解：

笛卡尔树性质

树中的元素满足二叉搜索树性质，要求按照中序遍历得到的序列为原数组序列
树中节点满足堆性质，节点的key值要大于其左右子节点的key值

建笛卡尔树，要满足一个结点 x RMQ要它大于它的子树的所以结点。概率为 1/szie(x), （相当于从size(x) 中选一个数为最大值)

由于每个元素相互独立，且服从于[0,1]上的均匀分布，所以显然权值和的期望就是 n/2.

#include <cstdio>
#include<iostream>
#include <cstring>
#include <string>
#include <vector>
#include <algorithm>
using namespace std;
typedef long long int ll;
const int N=1010000;
const ll mod=1000000007;

int stk[N],top,l[N],r[N],vis[N],n,x,_;
int a[N];
ll ret;
ll pow_mod(ll x,ll n)
{
    if(n==0) return 1;
    ll ans = pow_mod(x,n/2);
    ans = ans*ans%mod;
    if(n%2) ans=ans*x%mod;
    return ans;
}
int dfs(int u)
{
    int s=1;
    if (l[u]) s+=dfs(l[u]);
    if (r[u]) s+=dfs(r[u]);
    ret=ret*pow_mod(s,mod-2)%mod;
    return s;
}
void build()
{
    int top = 0, rt=0;
    for(int i=1;i<=n;i++) l[i]=0,r[i]=0,vis[i]=0;
    stk[top] = 0;
    for(int i=1;i<=n;i++)//单调栈求 一个数 左边最先大于等于它 右边最先大于它
    {
        int k = top;
        while(top&&a[stk[top]]<a[i]) top--;
        if(top<k) l[i] = stk[top+1];
        if(top>0) r[stk[top]] = i;
        stk[++top] = i;
    }
    for(int i=1;i<=n;i++) vis[l[i]] = vis[r[i]] = 1;
    for(int i=1;i<=n;i++) if(vis[i]==0) rt = i;
    dfs(rt);
}

int main()
{
    for (scanf("%d",&_); _; _--)
    {
        scanf("%d",&n);
        for(int i=1;i<=n;i++) scanf("%d",&a[i]);
        ret = 1;
        build();
        printf("%lld\n",ret*pow_mod(2,mod-2)%mod*n%mod);
    }
}