牛客网 2018校招真题 招商银行信用卡 不想出差的HR

Description

牛客网 2018校招真题 不想出差的HR

Solving Ideas

详情请参考 Nim游戏

Nim游戏是经典的公平组合游戏(ICG)，满足以下条件的游戏是ICG：

• 有两名选手；
• 两名选手交替对游戏进行移动(move)，每次移动选手可以在有限的合法移动集合中任选一种进行移动；
• 对于游戏的任何一种可能的局面(position)，合法的移动集合只取决于这个局面本身，不取决于轮到哪名选手操作、以前的任何操作、骰子的点数或者其它什么因素；
• 如果轮到某名选手移动，且这个局面的合法的移动集合为空（也就是说此时无法进行移动），则这名选手负。

对于position可以分为两类：

• P-position：当前局面下，先手必败
• N-position：当前局面下，先手必胜

关于position的转移有如下性质：

• 无法进行任何移动的局面（也就是terminal position）是P-position；
• 可以移动到P-position的局面是N-position；
• 所有移动都导致N-position的局面是P-position。

关于判断position性质的方法的正确性的证明，只需证明三个命题：

• 这个判断将所有terminal position判为P-position；
• 根据这个判断被判为N-position的局面一定可以移动到某个P-position；
• 根据这个判断被判为P-position的局面无法移动到某个P-position。

第一个命题显然，terminal position只有一个，就是全0，异或仍然是0。

第二个命题，对于某个局面(a1,a2,...,an)，若a1^a2^...^an<>0，一定存在某个合法的移动，将ai改变成ai'后满足a1^a2^...^ai'^...^an=0。不妨设a1^a2^...^an=k，则一定存在某个ai，它的二进制表示在k的最高位上是1（否则k的最高位那个1是怎么得到的）。这时ai^k<ai一定成立。则我们可以将ai改变成ai'=ai^k，此时a1^a2^...^ai'^...^an=a1^a2^...^an^k=0。

第三个命题，对于某个局面(a1,a2,...,an)，若a1^a2^...^an=0，一定不存在某个合法的移动，将ai改变成ai'后满足a1^a2^...^ai'^...^an=0。因为异或运算满足消去率，由a1^a2^...^an=a1^a2^...^ai'^...^an可以得到ai=ai'。所以将ai改变成ai'不是一个合法的移动。证毕。

根据这个定理，我们可以在O(n)的时间内判断一个Nim的局面的性质，且如果它是N-position，也可以在O(n)的时间内找到所有的必胜策略。Nim问题就这样基本上完美的解决了。

结论：
(Bouton’s Theorem)对于一个Nim游戏的局面(a1,a2,...,an)，它是P-position当且仅当a1^a2^...^an=0，其中^表示异或(xor)运算。

Time complexity : $O(n)$
Space complexity : $O(1)$

Solution

import java.io.BufferedReader;
import java.io.IOException;
import java.io.InputStreamReader;

/**
 * Nim游戏
 * @author wylu
 */
public class Main {
    static String[] room = {"A", "B", "C"};

    public static void main(String[] args) throws IOException {
        BufferedReader br = new BufferedReader(new InputStreamReader(System.in));
        String[] strs = br.readLine().split(",");
        int[] a = new int[strs.length];
        int k = 0;
        for (int i = 0; i < strs.length; i++) {
            a[i] = Integer.parseInt(strs[i]);
            k ^= a[i];
        }

        if (k == 0) {
            //P-position，先手必败
            System.out.println(1);
        } else {
            //N-position，先手必胜
            for (int i = 0; i < a.length; i++) {
                //寻找N-position移动到某个P-position的方法
                int num = k ^ a[i];
                if (a[i] - num < 0) {
                    continue;
                }
//                for (int j = 0; j < a.length; j++) {
//                    tmpXor ^= (j == i) ? num : a[j];
//                }
                int tmpXor = k ^ a[i] ^ num;
                if (tmpXor == 0) {
                    System.out.println(room[i] + "," + (a[i] - num));
                    break;
                }
            }
        }
    }
}