关于矩阵的低秩表示的学习

       研究的课题方向为非刚性结构运动（Non-Rigid Structure-from-Motion）的三维重建，在看论文时，看到一个低秩表示（Low Rank Representation）的讨论：Low-Rank Representation for Matrix Recovery（矩阵恢复的低秩表示）。参考了网上的文章，对这一部分的知识进行了补充。

       在线性代数的概念中，秩的定义如下：矩阵中最大的线性无关的向量的个数。而在图像处理中，秩就可以理解为图像中所包含的信息丰富程度。

      低秩矩阵：如果A是一个m行n列的数值矩阵，rank(A)是X的秩，假如rank(A)远小于m和n，则我们称X是低秩矩阵。

      下面一张图是从知乎上查到的，我觉得对低秩和稀疏性讲解的比较通俗易懂的一个回答。学习了。

 

      接下来就要记录一些常用的矩阵范数：

      1-范数：       矩阵A的元素绝对值的最大值

      2-范数：其中，表示为A的奇异值。即：2-范数为：A矩阵的最大奇异值

      F-范数：矩阵A元素的绝对值的平方和再开平方

      核范数（Nuclear Norm）：A矩阵的非零奇异值之和。

    在这里有一个定理：A的秩等于A 的非零奇异值的个数

      因此，在低秩表示中，关系最大的就是核范数。核范数常用之处便是约束低秩。

      因：Rank（A）为非凸问题，在优化问题中很难去求解，因此常用他的凸近似来近似求解，而Rank（A）的凸近似，正是核函数。

       论文中的表达：

       希望Z是低秩的。

       其中，A为字典（Dictionary）

      将该问题凸松弛：

      

      加入L2,1范数，来对噪音和野点更加鲁棒

      E为误差（Errors）