codeforces 798C Mike and gcd problem

最新推荐文章于 2018-04-24 23:23:47 发布

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本文探讨了一道关于数组变换的问题，目标是最少操作次数使数组的GCD大于1。通过对变换规则的数学分析，得出了操作次数的计算方法。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

题意：给出数组a[1...n]，能否经过有限次变换使 gcd(a[i])>1 。能的话输出最小变换次数。变换规则：选取i，a[i]=a[i]-a[i+1]，a[i+1]=a[i]+a[i+1]
题解:
gcd(a[i])>1：特判
gcd(a[i])=1：
考虑两个数x,y。d=gcd(x-y,x+y)，那么即存在p,q，( gcd(p,q)=1 )使得 x-y=pd , x+y=qd
那么有(p+q)d=2x,(q-p)d=2y，也就是说d|2x,d|2y
　　gcd(x-y,x+y) | gcd(2x,2y) <=> gcd(x-y,x+y) | 2gcd(x,y)
说明每次操作只能使得两个数的公因数乘以1或者乘以2
　　若相邻两个数同为奇数或同为偶数，那么操作后公因数乘以2
　　若相邻两个数为一奇一偶，那么操作后公因数不变
考虑全部n个数的话，显然一次操作同样也只能让他们总体的公因数乘以1或者乘以2
问题化为了求最少的操作次数使得他们全体为偶数
接下来问题就简单了
若相邻的两个数为奇数，那么需要1次操作让他俩都化为偶数
若相邻的两个数为偶数，那么需要0次操作让他俩都化为偶数

若相邻的两个数为一奇一偶，那么需要2次操作让他俩都化为偶数

参考题解：www.cnblogs.com/scidylanpno/p/6753960.html

#include<cstdio>

const int N=100005;
int a[N];

int gcd(int a,int b) {
	if(b==0) return a;
	return gcd(b,a%b);
}

int main() {
	int n;
	while(~scanf("%d",&n)) {
		///read
		for(int i=1;i<=n;++i) scanf("%d",a+i);

		///get d
		int d=a[1];
		for(int i=2;i<=n;++i) {
			d=gcd(d,a[i]);
		}
		
		///
		if(d>1) {
			puts("YES\n0");
			continue;
		}

		///solve
		int ans=0,now=0;
		for(int i=1;i<=n+1;++i) {
			if( a[i]%2 && a[i-1]%2 ) {
				++now;
			} else if( a[i]%2 && a[i-1]%2==0 ) {
				now=1;
			} else if( a[i]%2==0 && a[i-1]%2 ) { 
				ans=ans+now/2;
				if(now&1) ans+=2;
			}
		}

		///print
		printf("YES\n%d\n",ans);


	}
	return 0;
}