动态规划——硬币问题

最新推荐文章于 2025-06-12 14:37:05 发布

原创

最新推荐文章于 2025-06-12 14:37:05 发布 · 1.9k 阅读

1 ·

CC 4.0 BY-SA版权

文章标签：

#动态规划

这篇博客探讨了如何使用动态规划解决一种特殊的硬币组合问题，其中涉及面值为1、3、5的硬币。作者通过定义状态和寻找状态转移方程来解释动态规划的思想，并详细阐述了解决过程，指出在多种硬币面值选择时如何找到最少硬币数的解决方案。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

package dynamic_programming;

/**
* @author Tom Qian
* @email tomqianmaple@outlook.com
* @github https://github.com/bluemapleman
* @date 2017年8月22日
*/

/* 问题：我们有无数个面值为1、3、5的硬币，试问给定目标值n，如何用最少的1、3、5硬币组合出n值。
*
* 思路：
* 动态规划问题的解答分成两步：1、定义状态 2、找到状态转移方程
*
* 1、定义状态
* 状态描述的是子问题的解。而子问题顾名思义，是我们面对的原始问题的一个子问题，只要解决了这个子问题，那么原始问题也能迎刃而解。
* 在硬币问题中，原始问题是我们最少用多少个硬币能组合出n值，那么我们就往简单一点想：最少用多少个硬币能组合出n-1值呢？因为假设我们只有一元硬币时，我们要组合出n值，获得solutions(n)，是不是只需要知道solutions(n-1)即可，因为solutions(n)=solutions(n-1)+1，只要再拿一枚一元硬币就ok。同样继续回推，solutions(n-1)=solutions(n-2)+1……
*
* （……..是不是有点递归的味道？而其实，动态规划就是一种优化的递归方式。大概可以先这样理解：递归需要重复对比较低层次的最优解进行计算，而动态规划把不断地把低级解给存储起来，以备后面求解更高层次的最优解时使用，因此一般动态规划的效率会比递归高一些）
*
* 你可能奇怪，这么简单的问题有什么好推的？
* 而关键在于，绝大多数时候，我们有不只一个选择（硬币不会只有一种面值的），比如下面的代码阐述的是硬币有1、3、5三种面值时所有对应的最少硬币数解，这种情况下，当你想用动态规划思路求solutions(n)，你有三种选择：
* 1. 拿一枚1元硬币：choice1=solutions(n-1)(组合出n-1值的最少硬