【莫比乌斯反演】CodeForces 1043F Make It One

最新推荐文章于 2020-11-09 16:02:14 发布

Toooooocold

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分类专栏：数论-莫比乌斯反演

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本文解析了Codeforces Round #519中的一道题目，给定n个数（n<=3e5），每个数<=3e5，目标是找出最小的数的子集，使得这些数的GCD为1。文章通过二分搜索或直接枚举的方法解决，并使用莫比乌斯反演验证答案的存在性。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

$S o u c e :$ Codeforces Round #519 by Botan Investments
$P r o b l e m :$ 给n个数(n<=3e5)，每个数<=3e5，选择最少的数，使得他们的gcd为1。输出这个最小子集的大小。
$I d e a :$ 可以二分，或者直接枚举，因为2 * 3 * 5 * 7 * 11 * 13 * 17 > 3e5，每次选择会删去一个素数，所以答案不超过7。接着用莫比乌斯反演验证答案是否存在，g(x，len)表示集合大小为len，gcd为x的倍数的方案数，那么验证f(1, len)的方案数不为0即可。
$C o d e :$

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;

typedef long long LL;

const int N = 3e5+10;
const int MOD = 1e9+7;

bool isn[N];
int mu[N], p[N];
LL inv[N], fac[N];

void init() {
    inv[1] = 1;
    for(int i = 2; i < N; ++i) inv[i] = MOD-(MOD/i*inv[MOD%i]%MOD);
    fac[0] = 1, inv[0] = 1;
    for(int i = 1; i < N; i++){
        fac[i] = fac[i-1]*i%MOD;
        inv[i] = inv[i-1]*inv[i]%MOD;
    }
    int pnt = 0;
    isn[1] = 1; mu[1] = 1;
    for(int i = 2; i < N; i++) {
        if(!isn[i]) { p[pnt++] = i; mu[i] = -1; }
        for(int j = 0; j<pnt && i*p[j]<N; j++) {
            isn[i*p[j]] = 1;
            if(i%p[j] == 0) { mu[i*p[j]] = 0; break; }
            mu[i*p[j]] = -mu[i];
        }
    }
}

inline LL C(int a, int b) { return fac[a]*inv[b]%MOD*inv[a-b]%MOD; }

int cnt[N];

int main() {
    init();
    int n, g; scanf("%d", &n);
    for(int i = 1; i <= n; i++) {
        int x; scanf("%d", &x);
        if(i == 1) g = x;
        else g = __gcd(g, x);
        cnt[x]++;
    }
    if(g != 1) { puts("-1"); exit(0); }
    for(int i = 1; i < N; i++)
    for(int j = i+i; j < N; j += i)
        cnt[i] += cnt[j];
    for(int i = 1; i <= min(n, 7); i++) {
        LL sum = 0;
        for(int j = 1; j < N; j++) if(cnt[j] >= i) {
            (sum += mu[j]*C(cnt[j], i)) %= MOD;
        }
        if(sum) { printf("%d\n", i); break; }
    }
    return 0;
}