剑指Offer(第2版)——面试题56：数组中只出现一次的数字

题目

一个整型数组里除了两个数字之外，其他数字都出现了两次。请写程序找出这两个只出现一次的数字。要求时间复杂度是O(n)，空间复杂度是O(1)。

解题思路：

1.如何在一个数组中找到一个只出现一次的数字呢？

• 异或运算的一个性质：任何一个数字异或它自己都等于0。
• 如果我们从头到尾依次异或数组中的每一个数字，那么最终的结果刚好是那个只出现一次的数字，因为那些成对出现两次的数字全部在异或中抵消了。

举例：

• 比如数组{4,5,5}，我们先用数组中的第一个元素4（二进制形式：0100）和数组中的第二个元素5（二进制形式：0101）进行异或操作，0100和0101异或得到0001。
• 再用这个得到的元素与数组中的三个元素5（二进制形式：0101）进行异或操作，0001和0101异或得到0100，正好是结果数字4。
• 这是因为数组中相同的元素异或是为0的，因此就只剩下那个不成对的单独元素。

2.如何在一个数组中找到两个只出现一次的数字呢？

• 我们可以将原数组分成两个子数组，使得每个子数组包含一个只出现一次的数字，而其他数字都成对出现两次。这样，我们就可以用上述同样的方法找到那个单独的元素。
• 我们还是从头到尾依次异或数组中的每个数字，那么最终得到的结果就是两个只出现一次的数字的异或结果。
• 因为其他数字都出现了两次，在异或中全部抵消了。由于这两个数字肯定不一样，那么异或的结果肯定不为0，也就是说这个结果数字的二进制表示中至少有一位为1。
• 我们在结果数字中找到第一个为1的位的位置，记为第n位。现在我们以第n位是不是1为标准把原数组中的数字分成两个子数组，第一个子数组中每个数字的第n位都是1，而第二个子数组中每个数字的第n位都是0。

举例：

• 比如数组{2,4,3,6,3,2,5,5}，我们依次对数组中的每个数字做异或运行之后，得到的结果用二进制表示是0010。
• 异或得到结果中的倒数第二位是1，于是我们根据数字的倒数第二位是不是1将该数组分为两个子数组。第一个子数组{2,3,6,3,2}中所有数字的倒数第二位都是1，而第二个子数组{4,5,5}中所有数字的倒数第二位都是0。
• 接下来只要分别两个子数组求异或，就能找到第一个子数组中只出现一次的数字是6，而第二个子数组中只出现一次的数字是4。

代码

class Solution{
public:
    void FindNumsAppearOnce(vector<int> data, int* num1, int* num2){
        int length = data.size();
        if(length < 2) return;
        //对原数组每个元素依次求异或
        int resultExclusiveOR = 0; //初始值
        for(int i = 0; i < length; i++){
            resultExclusiveOR ^= data[i]; //异或
        }
        //找到原数组异或后结果第一个为1的位数
        unsigned int indexOf1 = FindFirstBitIs1(resultExclusiveOR);
        //将原数组分为两个子数组
        *num1 = *num2 = 0;
        for(int j = 0; j < length; j++){
            if(IsBit1(data[j], indexOf1)) *num1 ^= data[j];
            else *num2 ^= data[j];
        }
    }
private:
    //找到二进制数num第一个为1的位数，比如0010，第一个为1的位数是1。
    unsigned int FindFirstBitIs1(int num){
        unsigned int indexBit = 0;
        //一个字节由8个二进制位组成
        while((num & 1) == 0 && (indexBit < 8 * sizeof(unsigned int))){
            num = num >> 1; //向右位移
            indexBit++;
        }
        return indexBit;
    }
    //判断第indexBit位是否为1
    bool IsBit1(int num, unsigned int indexBit){
        num = num >> indexBit;
        return (num & 1);
    }
};