数列

题目描述

小T最近在学着买股票，他得到内部消息：F公司的股票将会疯涨。

股票每天的价格已知是正整数，并且由于客观上的原因，最多只能为N。在疯涨的K天中小T观察到：除第一天外每天的股价都比前一天高，且高出的价格（即当天的股价与前一天 的股价之差）不会超过M，M为正整数。并且这些参数满足m×(k−1)<n。

小T忘记了这K天每天的具体股价了，他现在想知道这K天的股价有多少种可能。

题解

考虑到一个m序列，它对答案的贡献就是$$n-\sum _1^{n-1}{a}_i$$所以答案变成$n\ast m^{k-1}-\sum 排列\sum a_i$，接着考虑到后面这个$a_i$一共出现了$$(k-1)\ast n\ast m^{k-1}$$次，每个数出现的次数又都一样，所以每个数出现了$$(k-1)\ast n\ast m^{k-2}$$次，然后就是$\sum i\ast (k-1)\ast n\ast m^{k-2}$ 所以总式$$n\ast m^{k-1}-m\ast (m+1)/2\ast i\ast (k-1)\ast n\ast m^{k-2}$$
##代码

#include <cstdio>
#define LL long long
LL n,k,m,p;
LL Pow(LL x,LL k){
    LL res=1;
    while(k){
        if(k&1) res=res*x%p;
        x=x*x%p; k>>=1ll;
    }
    return res;
}
int main(){
    scanf("%lld%lld%lld%lld",&n,&k,&m,&p);
    printf("%lld",((n%p*Pow(m,k-1)%p-Pow(m,k-2)%p*(k-1)%p*(m*(m+1)/2%p)%p+p)%p));
    return 0;
}