hnoi2015day1：亚瑟王

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本文介绍了一种解决游戏卡牌战斗中伤害期望值计算的动态规划算法。该算法通过计算每张卡牌在不同轮次中被考虑的概率来得出整个游戏过程中卡牌可能造成的总伤害期望值。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

题目描述

玩家有一套卡牌，共n张。游戏时，玩家将n张卡牌排列成某种顺序，排列后将卡牌按从前往后依次编号为1 ~
n。本题中，顺序已经确定，即为输入的顺序。每张卡牌都有一个技能。第i张卡牌的技能发动概率为pi，如果成功发动，则会对敌方造成di点伤害。也只有通过发动技能，卡牌才能对敌方造成伤害。基于现实因素以及小K非洲血统的考虑，pi不会为0，也不会为1，即0 < pi< 1。
一局游戏一共有r轮。在每一轮中，系统将从第一张卡牌开始，按照顺序依次考虑每张卡牌。在一轮中，对于依次考虑的每一张卡牌：
1．如果这张卡牌在这一局游戏中已经发动过技能，则
1.1 如果这张卡牌不是最后一张，则跳过之（考虑下一张卡牌）；
否则（是最后一张），结束这一轮游戏。
2．否则（这张卡牌在这一局游戏中没有发动过技能），设这张卡牌为第i张
2.1 将其以pi的概率发动技能。
2.2 如果技能发动，则对敌方造成di点伤害，并结束这一轮。
2.3 如果这张卡牌已经是最后一张（即i等于n），则结束这一轮；
否则，考虑下一张卡牌。
请帮助小K求出这一套卡牌在一局游戏中能造成的伤害的期望值。

输入

输入文件的第一行包含一个整数T，代表测试数据组数。
接下来一共T组数据。
每组数据的第一行包含两个用空格分开的整数n和r，分别代表卡牌的张数和游戏的轮数。
接下来n行，每行包含一个实数和一个整数，由空格隔开，描述一张卡牌。第i行的两个数为pi和di，分别代表第i张卡牌技能发动的概率（实数）和技能发动造成的伤害（整数）。保证pi最多包含4位小数，且为一个合法的概率。

输出

对于每组数据，输出一行，包含一个实数，为这套卡牌在这一局游戏中造成的伤害的期望值。对于每一行输出，只有当你的输出和标准答案的相对误差不超过10^-8
时——即|a-o| ≤ 10^-8时 (其中a是标准答案，o是输出)，你的输出才会被判为正确。建议输出10位小数。

题解

玄学dp题，每一张牌被打出的概率很复杂，每张牌的概率和前面牌的概率有关，容斥乱套的感觉，还搞不出来，一下子就 $n^3$ 了。
正解考虑dp[i][j]为第i张牌被考虑j次的概率，他等于前一张牌之前没被打出来过时的概率加前一张牌被打出来过的概率，因为前一张牌打出的那一轮不考虑这张牌，所以后者取j+1次时的概率
$dp[i][j]=dp[i-1][j]*(1-p[i-1])^j+dp[i-1][j+1]*[1-(1-p[i-1])^{j+1}]$
对于每个状态，统计答案的时候乘上打出的概率和值就是期望了
$ans+=dp[i][j]*[1-(1-p[i])^j]*v[i]$

代码

#include <bits/stdc++.h>
#define pow haha
#define maxn 300
using namespace std;
int m;
double dp[maxn][maxn],p[maxn],pp[maxn][maxn],v[maxn];
int main(){
    scanf("%d",&m);
    while(m--){
        int n,r;
        double ans=0;
        scanf("%d%d",&n,&r);
        memset(dp,0,sizeof dp);
        dp[0][r]=1;
        for(int i=1;i<=n;i++) scanf("%lf%lf",&p[i],&v[i]);
        for(int i=1;i<=n;i++){
            for(int j=0;j<=r;j++){
                dp[i][j]=dp[i-1][j]*pow(1-p[i-1],j)+dp[i-1][j+1]*(1-pow(1-p[i-1],j+1));
                ans+=dp[i][j]*(1-pow(1-p[i],j))*v[i];
            }
        }
        printf("%.10lf\n",ans);
    }
}