hdu 4045(组合数学，第二类斯特林数)

最新推荐文章于 2021-01-03 21:12:28 发布

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组合数学

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本文介绍了一道名为HDU4045的算法题的解题思路，该题涉及从n台机器中选取r台，要求任意两台机器的序号差不小于k，并将这r台机器最多分为m组。文章详细阐述了如何通过组合数学和第二类斯特林数解决此问题。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

hdu 4045
题目大意：从n台机器中取r台，要求任意两台的序号差不小于k，再将这r台机器最多分为m组（每不为空）,求共有多少种可能；

思路：
在选中的r台机器两两间插入k - 1台机器;
例如：r = 3, k = 3 : 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 (1 为选中的)
剩余t = n - ((r - 1) * ( k - 1) + r) = n - ((r - 1) * k + 1);
再将 t 分为 r 组(可为空) , 为c(t + r, r)//可视为共有t + r 个相同元素，挑出r个作为隔板
再套用第二类斯特林数求出 $\sum_{i = 0}^{m}s(r, i)$ ;
两者结果相乘

#include <iostream>
#define MOD 1000000007
#define LL __int64
#define N 1001

using namespace std;

LL s[N][N] = {1}, c[2 * N][2 * N];

void init()
{
    for(int i = 1; i <= 2000; i++)
    {  
        c[i][0] = c[i][i] = 1;

        for(int j = 1; j < i; j++)  
        {
            c[i][j] = (c[i-1][j-1] + c[i-1][j]) % MOD; 
        } 
    }  
    for(int i = 1; i <= 1000; i++)
    {  
        s[i][0] = 0;  
        s[i][i] = 1;  

        for(int j = 1; j < i; j++)  
        {
            s[i][j] = ((LL)j * s[i-1][j] + s[i-1][j-1]) % MOD;  
        }
    }  
} 

int main()
{
    init();

    int n, r, k, m;

    while (~scanf("%d%d%d%d", &n, &r, &k, &m))
    {
        int t = (r - 1) * k + 1;

        if (n - t < 0)
        {
            printf("0\n");
        }
        else
        {
            LL sum = 0;
            LL ans1 = c[n - t + r][r];

            for (int i = 1; i <= min(r, m); i++)
            {
                sum = (sum + s[r][i]) % MOD;
            }

            cout << (sum * ans1) % MOD << endl;
        }
    }
}