NUDT校赛 E Missile 背包dp 概率

最新推荐文章于 2023-06-02 20:22:14 发布

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该博客介绍了一种使用动态规划(DP)解决概率优化问题的策略，涉及导弹命中目标的概率和成本。在总价值不少于s的情况下，如何以最小成本确保至少一枚导弹命中目标。博主详细阐述了思路，包括概率计算、DP状态定义、递推公式及初始化，并给出了关键代码片段。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

题目

题意: 有n个目标, n种导弹, 第i种导弹只能打第i个目标, 给出每种导弹命中的概率, 每种导弹的成本(元/个), 总价值为

总成本为

问在总价值不小于s的情况下, 最小成本是多少.

思路:

①概率问题: 假设某火箭发射k次, 全都没命中的概率是 $(1-p)^{k}$ , 那么命中的概率就是 $1-(1-p)^{k}$ , 那么一种火箭的价值贡献就是 $round(e*(1-(1-p)^{k}))$ , 一种火箭的成本就是 $k*c$ .

②考虑dp dp[i]表示当前总花费, i表示当前的最大总价值.

③递推式: $dp[i]=dp[i-round(w[j]*(1-(1-p[j])^{k}))]+k*v[j]$

④初始化: 将每一个价值都置为inf, 表示要付出无穷大的花费才能达到当前价值.dp[0]=0, 0价值当然不需要花费就能达到.

⑤顺序:

每种导弹->每个价值从大到小->此种导弹的个数.

原因: 将当前种类的导弹的影响都考虑完,再考虑下一种导弹.

每个价值从大到小保证只用之前导弹得到的代价更新当前状态的代价. 如果从小到大更新, 因为dp数组只有1维, 不可避免的, 就会让已经更新过x类导弹的低状态影响到高状态.我们要保证每个状态都是由没有此类导弹的状态得到, 而背包都是由低状态得到高状态, 所以要先枚举高状态(此时低状态都是未更新的), 再更新低状态.

另外, 最后两维也不能反, 每种炮弹的个数只能有一次贡献, 而如果先枚举个数再枚举价值的话, 某状态可能受到两次不同个数导弹的影响而改变.

⑥如果低价值的成本>高价值的成本, 那么高价值的成本就可以赋给低价值的成本(因为如果小的成本就能得到大的价值, 那么他当然能的到小的价值).

代码:

#include<bits/stdc++.h>
#define fuck(x) std::cout<<"["<<#x<<"->"<<x<<"]"<<endl;
using namespace std;
typedef long long ll;

const int M=2e5+5;
const int inf=1e9+5;
const int mod=1e9+7;
//memset(a,0x3f,sizeof(a));
int dp[50005];
//   dp[i]=dp[ i - w[j]*(1- ( 1- p[j]) ^k) ] + v[j] *k
int n,m,s;
int w[505];
int v[505];
double p[505];
int sum=0;

int main() {
    scanf("%d%d",&n,&m);
    for(int i=1; i<=n; i++) {
        scanf("%d",&w[i]);
        sum+=w[i];
    }
    for(int i=1; i<=n; i++) {
        scanf("%d",&v[i]);
    }
    for(int i=1; i<=n; i++) {
        scanf("%lf",&p[i]);
    }
    fill(dp,dp+50005,inf);
    dp[0]=0;
    for(int j=1; j<=n; j++) {
        for(int i=sum; i>=0; i--) {
            double tmp=1;
            for(int k=0; k<=10; k++) {
                int now=round(w[j]*(1- tmp ));
                if(i>=now)
                    dp[i]=min(dp[i],dp[ i - now   ] + v[j] * k );
                tmp=tmp*( 1- p[j]);
            }
        }
    }
    for(int i=sum; i>=0; i--) {
        dp[i]=min(dp[i],dp[i+1]);
    }
//    for(int i=0;i<505;i++){
//        printf("[%d]:%d ",i,dp[i]);
//    }
//    puts("");
    for(int i=0; i<m; i++) {
        scanf("%d",&s);
        if(dp[s]==inf) {
            printf("Impossible\n");
        } else
            printf("%d\n",dp[s]);
    }
    return 0;
}