概率论：方差、标准差、协方差、皮尔逊相关系数、线性相关

大豆木南

已于 2023-06-09 17:14:18 修改

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文章标签：机器学习人工智能概率论数学算法

于 2023-06-09 09:33:53 首次发布

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方差和标准差：

一个随机变量 $\textup{x}$ ， $\textup{x}$ 的值的变化程度可以用方差计算：

$\textup{Var}(\textup{x})=\textup{E}[(x-E[\textup{x}])^{2}]$ ；其中 $E[\textup{x}]$ 是期望。

另外一种等价表达式：

其中 $\mu$ 为均值，N为总体例数

我们举个例子：

$\textup{x}$ 服从均一分布， $\textup{x}$ 取值为0.1，0.2，0.3，0.4，0.5 ，每种值的概率是20%，可算出期望是0.3，那么方差就是：

$\textup{Var}(\textup{x})=\textup{E}[(x-E[\textup{x}])^{2}]\\ =0.2*(0.1-0.3)^{2}+0.2*(0.2-0.3)^{2}+0.2*(0.3-0.3)^{2}+0.2*(0.4-0.3)^{2}+0.2*(0.5-0.3)^{2}\\ =0.2*0.1$

标准差是方差的平方根，随机变量 $\textup{x}$ 的标准差是 $\sqrt{0.2*0.1}$

此处为了方便，计算方差和标准差时，分母是N，计算的是总体方差和总体标准差。（在实际应用中，因为样本是抽样样本，计算方差和标准差时，分母应是N-1，也就是说计算的是样本方差和样本标准差。）

协方差：

协方差可以用来衡量两个变量的线性相关性，并且可以化简到容易计算的形式（化简过程有问题可以找下证明或者举个例子亲自算一下）：

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