hihocoder 20 展胜地的鲤鱼旗

最新推荐文章于 2017-03-23 11:25:07 发布

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#hihocoder 20 展胜地的鲤鱼旗

本文介绍了一种高效算法，用于计算给定括号字符串中合法括号子串的数量。通过两种方法实现O(n)时间复杂度的目标：一是通过标记和匹配括号找到连续但互不相交的合法子串；二是利用动态规划方法，记录每个位置结束的合法子串数量。

时间限制:10000ms

单点时限:1000ms

内存限制:256MB

描述

岩手县北上市的「北上市立公园展胜地」，是陆奥国三大樱花名所之一。每年的四月中旬到五月初，这里都会举办盛大的祭奠。除了可以在盛开的樱花步道上乘坐观光马车徐行、还有横跨北上川上的鲤鱼旗，河畔还有当地特有的为祭奠祖先而编创的北上鬼剑舞。

假设，我们用一个包含 '(', ')'的括号字符串来区别每面鲤鱼旗的方向。一段括号序列被称为合法的，当且仅当满足两个条件：一、对于整个序列，左括号数量等于右括号；二、对于任意前缀，左括号的数目都不小于右括号的数目。岛娘想知道，对于一串括号字符串，有多少子串是合法的，你能帮助她么。

输入

输入数据仅一行，包含一个长度为 n (1 ≤ n ≤ 10⁶) 的括号字符串。

输出

输出一行，表示合法的括号子串的数目。

样例输入

(()())

样例输出

题解：

本题 O(n) 的做法很多。

做法一：

考虑平衡的子串一定是 (...)(...)(...) 结构的，一种方法时，从左向右扫一遍，对于每个左括号 i，尝试匹配一个右括号 pi，（如果没有匹配设 pi 为 -1）初始每个左括号设为没有被标记，顺序枚举没被标记的有匹配的左括号 i，标记它，然后看 pi+1 位置是不是有匹配的左括号，如果是，标记它，然后重复上述操作，这样得到一系列合法的括号，它们互不相交，但是相连，比如说有k个，那么对应着k*(k+1)/2个平衡的子串。因为每个括号只会被标记一次，因此复杂度为 O(n)。

方法二，考虑动态规划 F[i] 代表以第 i 个字符为结尾的平衡串个数，预处理出每个与右括号匹配的左括号 j，如果存在的话，那么 f[i]=f[j]+1; 复杂度也是 O(n)。

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <iostream>
#include <algorithm>

using namespace std;

const int maxn=1000006;
char s[maxn];
int st[maxn],dp[maxn];

int main()
{
    int top=-1;
    long long sum=0;
    scanf("%s",s);
    int len=strlen(s);
    for (int i=0;i<len;i++)
    {
        if (s[i] == '('){
            st[++top]=i;
        }else{
            if (top != -1)
            {
                int pre=st[top];
                dp[i]=1;
                if (pre != 0)
                    dp[i]+=dp[pre-1];
                top--;
            }
        }
        sum+=dp[i];
    }
    printf("%lld",sum);
    return 0;
}