欧几里德与扩展欧几里德算法——密码学笔记（五）

一、欧几里德算法

又称辗转相除法，用于计算两个整数a,b的最大公约数。

基本算法：设a=qb+r，其中a，b，q，r都是整数，则gcd（a,b）=gcd（b，r），即gcd（a，b）=gcd（b，a%b）

整除：

若整数a除以非零整数b，商为整数，且余数为零，我们就说a能被b整除（或说b能整除a），a为被除数，b为除数，即b|a（“|”是整除符号），读作“b整除a”或“a能被b整除”。a叫做b的倍数，b叫做a的约数（或因数）。

证明（法一）：

若a可以表示为a=kb+r，则r=a mod b；

假设d是a，b的一个公约数，则有d|a，d|b，而r=a-kb，因此d|r，因此d是（b，a mod b）的公约数；

假设d是（b，a mod b）的公约数，则d|b，d|r，但是a=kb+r，因此d|a，所以d也是（a，b）的公约数；

因此，（a，b）和（b，a mod b）的公约数是一样的，其最大公约数也必然相等，即gcd（a,b）=gcd（b，r）。

证明（法二）：

假设c是a，b的最大公约数，即c=gcd（a，b），则有a=mc，b=nc，其中m，n为正整数，且m，n互为质数；

由r=a mod b可知，r=a-qb，其中q是正整数，则r=a-qb=mc-qnc=（m-qn）c；

b=nc，r=（m-qn）c，且n，m-qn互质

（假设n，m-qn不互质，则n=xd，m-qn=yd，其中x，y，d都是正整数，且d>1，则a=mc=（yd+qn）c=（yd+qxd）c=（qx+y）dc，b=xdc，这时a，b的最大公约数变成dc，与前提矛盾，所以n，m-qn一定互质）

则gcd（b，r）=c=gcd（a，b）

二、扩展欧几里德算法

基本算法：对于不完全为0的非负整数a，b，必存在整数对x，y，使得gcd（a，b）=ax+by。

证明：

设a>b

1、当b=0时，gcd（a，b）=a。此时x=1，y=0;

2、ab！=0时，设

     a x1+b y1=gcd（a，b）；b x2+（a mod b） y2=gcd（b，a mod b）；

     根据朴素的欧几里德原理有gcd（a，b）=gcd（b，a mod b）；

     则：a x1+b y1 =b x2+（a mod b）y2；

     即：a x1+b y1 =b x2+（a-（a/b）*b）y2=a y2+b x2-（a/b）+b y2；

     根据恒定定理得：x1=y2，y1=x2-（a/b）* y2；

     这样我们就得到了求解x1，y1的方法：x1，y1的值基于x2，y2。

     上面的思想是以递归定义的，因为gcd不断的递归求解一定会有个时候b=0，所以递归可以结束。