自己动手写数据结构（9）——图的拓扑排序和关键路径

最新推荐文章于 2025-04-21 17:32:15 发布

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本文深入讲解图的拓扑排序和关键路径算法，包括定义、算法原理及Java代码实现，通过实例展示如何求解有向无环图的拓扑排序和AOE网的关键路径。

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具体内容：

该文章的源代码仓库为：https://github.com/MeteorCh/DataStructure/blob/master/Java/DataStructure/src/Graph/AdjListGraph.java

一、拓扑排序

1.定义

AOV网： 在一个表示工程的有向图中，用顶点表示活动，用弧表示活动之间的优先关系，这样的有向图为顶点表示活动的网，成为AOV(Activity On Vertex Network)网。
拓扑序列 对一个有向无环图G进行拓扑排序，是将G中所有顶点排成一个线性序列，使得图中任意一对顶点u和v，若边<u,v>∈E(G)，则u在线性序列中出现在v之前。通常，这样的线性序列称为满足拓扑次序(Topological Order)的序列，简称拓扑序列。
以下面的图为例：

按照拓扑排序的定义，V1必须要在V0的后面，V2必须要在V0、V1的后面，V3必须要在V1、V2的后面，V4必须要在V2、V3的后面。那这个图的拓扑排序只有一种，就是V0,V1,V2,V3,V4。对于一个图，拓扑排序可能不唯一，而且，只有有向无环图才存在拓扑排序（如果有环，比如上面的图中，V3和V1之间的边改成V3指向V1，那按照拓扑排序的定义，V3必须在V2的后面，V2必须在V1的后面，那V3就必须在V1的后面，又因为V3->V1有边，那V1必须在V3的后面，这就矛盾了）。

2.拓扑排序算法

如何实现拓扑排序呢？具体步骤如下：

1.首先找到图中入度为0的节点，输出
2.将与该节点相连的以该点为起点的弧全部删除（该弧的终点所相连的顶点的入度减1），重复上面的步骤，指导所有节点均输出
3.如果图中的节点没有完全输出，说明图中存在环，不存在拓扑排序。

3.代码实现

我在以前实现的邻接表存储的图（博客在这里，源码在这里）来实现拓扑排序，我这里只写函数，具体的图的具体Java代码如下：
首先是拓扑排序的实现代码，函数参数earlistStartTime是在求解关键路径时，记录事件的最早开始时间的，在这个函数里有关earlistStartTime的代码暂时先不用管。

/**
     * 拓扑排序
     * @param earlistStartTime 事件的最早开始时间
     * @return 拓扑排序结果
 */
protected LinkedList<Integer> topoSort(int[] earlistStartTime) throws Exception {
   
   
        int[] in=new int[vertexNum];//统计每个节点的入度的数组
        boolean[] visitFlag=new boolean[vertexNum];//标记节点是否已输出
        //初始化
        if (earlistStartTime!=null){
   
   
            for (int i=0;i<vertexNum;i++)
                earlistStartTime[i]=0;
        }
        for (int i=0;i<vertexNum;i++){
   
   
            visitFlag[i]=false;
            VertexNode node=vertexes[i];
            ArcNode arcNode=node.firstArc;
            while (arcNode!=null){
   
   
                in[arcNode.nodeIndex]++;
                arcNode=ar