浅谈RMQ(ST)

$ST$这种算法是少有的简单（理解）而又简单（实现）的算法。

题目导入：

题目描述
2008年9月25日21点10分，酒泉卫星发射中心指控大厅里，随着指挥员一声令下，长征二号F型火箭在夜空下点火起飞，神舟七号飞船载着翟志刚、刘伯明、景海鹏3位航天员，在戈壁茫茫的深邃夜空中飞向太空，开始人类漫步太空之旅。第583秒，火箭以7.5公里／秒的速度，将飞船送到近地点200公里、远地点350公里的椭圆轨道入口。而此时，火箭的燃料也消耗殆尽，即将以悲壮的方式与飞船告别。这个过程，在短短不到10分钟时间内，翟志刚和他的两名战友体会到了从超重到失重的过程。
除了超重和失重的感觉之外，就是浩瀚的长空中璀璨的星星，和地面上看到的星星不同，在太空中看到的星星是成一条直线的，一共有N(1<=N<=100,000)颗星星，编号为1到N,每个星星有自己的体积，由于在飞船中很无聊，除了不停地玩弄手中失重的书和笔之外没有别的事可干，此时翟志刚说我们来玩游戏吧，一共玩了M轮(1<=M<=100,000)，每一轮都是给出两个整数L和R(1<=L<=R<=N)，询问第L到第R颗星星之间最大星星的体积，每次答对的人就可以多休息一段时间。
由于翟志刚还要进行太空漫步，所以他现在请你帮忙，你得到的回报就是太空饼干。
输入
第一行输入N,M
接下来一行N个整数，表示星星的体积(1<=体积<=maxlongint)
接下来M行，每行两个整数L_i,R_i,表示询问区间。
输出
输出M行，每一行表示询问区间L_i到R_i之间最大星星的体积。
样例输入
6 3
5 7 3 9 2 10
1 3
2 4
3 6
样例输出
7
9
10

进入正题。$ST$算法就是用于解决以上问题的算法，我们称之为：给你一个超长的区间，不动它（像树状数组，线段树就是动的），问你超多的“这个区间最大（小）值是什么？”的问题。

首先我们定义一个f数组。

$f[i,j]$

代表由i为起点长度为2^j的区间最大值（这里先用最大值,最小值同理嘛）
那么怎么求f数组呢。
$DP$呀
$f[i,j]=max(f[i,j-1]$前面一半，$f[i+2^j-1,j-1]$后面一半)
就是前面的最大值和后面的最大值取最大值，即当前最大值。
是不是很简单？

那么问问题的时候怎么回答呢？
比如问区间$li,ri$
我们求出一个最大的X满足$2^x<=ri-li+1$（就是区间长度），即

区间最大值就是$max(f[li,x],f[ri-2^x+1,x])$;
为什么是这样呢？
当log操作正好为整数时，区间如下：

这样等于说以li为起点向后推$2^x$个（$max$中两个都是一个区间），已经求出来了。

那么，当$log$操作不是整数时，区间如下。

显然，$2^x$保证了两个子区间既在大区间中，又保证了两区间有重叠（不断开）。
所以，已经很明显了。

$tips：$

$log2$操作不用每次调用，可以预处理，用一种动归思路。
$log[i]$表示$LOGi$向下取整的值。
$log[i]=log[i/2]+1$（小一级的$log$值加一就是大$log$，即多乘一次2）

讲的比较浅，有问题私聊。