P3902 递增 LCS最长上升子序列 二分优化

题目描述

现有数 A1,A2,⋯ ,AnA_1,A_2,\cdots,A_nA1​,A2​,⋯,An​，修改最少的数字为实数，使得数列严格单调递增。
输入格式

第一行，一个整数 nnn。

第二行，nnn 个整数A1,A2,⋯ ,AnA_1,A_2,\cdots,A_nA1​,A2​,⋯,An​
输出格式

1 个整数，表示最少修改的数字
输入输出样例
输入 #1

3
1 3 2

输出 #1

1

说明/提示

• 对于50% 的数据，N≤103N \le 10^3N≤103

• 对于100% 的数据，1≤N≤105,1≤Ai≤1091 \le N \le 10^5 , 1 \le A_i \le 10^91≤N≤105,1≤Ai​≤10




刘汝佳蓝书第p62页的例题

• $n减去最长上升子序列的个数就是答案$
• $O(n^2)$
  • 设dp[i]表示左端点lef=1右端点为i的$LCS个数$
  • 转移方程 : $dp[i]=max(dp[i],dp[j]+1)j从1到i递增(j<i)$
  • 边界 : $dp[i]$全部初始化为1

//未使用二分优化的O(n^2)
//dp[rig]表示长度为rig的LCS是多少, 子问题是dp[rig-1], dp[rig-2] ... dp[1]
int ans = 0;
for(int rig=1; rig<=n; rig++) {
	dp[rig] = 1;
	for(int lef=1; lef<rig; lef++) {
		if(a[rig] > a[lef]) dp[rig] = max(dp[rig], dp[lef]+1);
		ans = max(ans, dp[rig]);
	}
}

• 使用二分优化$O(nlogn)$
  • 假设已经计算出两个状态a和b, 满足$A_a<A_b$,且$dp[a]==dp[b]$
  • 则对于a和b后面的状态c,a转移到c一定比b转移到c更优,
  • 所以对于相同的dp[a]==dp[b],只需要保留最小的d值

//使用二分优化到O(nlogn)
int ans = 0;
memset(tmp, INF, sizeof(tmp)); //初始化为正无穷,方便后面lower_bound
tmp[0] = 0;
for(int rig=1; rig<=n; rig++) {
	int pos = lower_bound(tmp+1, tmp+1+n, a[rig]) - tmp; //找到a[i]对应的位置
	tmp[pos] = a[rig];         //替换a[i]一定小于等于tmp[pos] 故替换
	ans = max(ans, pos);       //更新答案
}

完整代码

#define debug
#ifdef debug
#include <time.h>
#include "/home/majiao/mb.h"
#endif

#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <vector>
#include <string.h>
#include <map>
#include <set>
#include <stack>
#include <queue>
#include <math.h>

#define MAXN ((int)1e5+7)
#define ll long long 
#define INF (0x7f7f7f7f)
#define fori(lef, rig) for(int i=lef; i<=rig; i++)
#define forj(lef, rig) for(int j=lef; j<=rig; j++)
#define fork(lef, rig) for(int k=lef; k<=rig; k++)
#define QAQ (0)

using namespace std;

#define show(x...)                             \
	do {                                       \
		cout << "\033[31;1m " << #x << " -> "; \
		err(x);                                \
	} while (0)

void err() { cout << "\033[39;0m" << endl; }
template<typename T, typename... A>
void err(T a, A... x) { cout << a << ' '; err(x...); }

namespace FastIO {

	char print_f[105];
	void read() { }
	void print() { putchar('\n'); }

	template <typename T, typename... T2>
		inline void read(T &x, T2 &... oth) {
			x = 0;
			char ch = getchar();
			ll f = 1;
			while (!isdigit(ch)) {
				if (ch == '-') f *= -1; 
				ch = getchar();
			}
			while (isdigit(ch)) {
				x = x * 10 + ch - 48;
				ch = getchar();
			}
			x *= f;
			read(oth...);
		}
	template <typename T, typename... T2>
		inline void print(T x, T2... oth) {
			ll p3=-1;
			if(x<0) putchar('-'), x=-x;
			do{
				print_f[++p3] = x%10 + 48;
			} while(x/=10);
			while(p3>=0) putchar(print_f[p3--]);
			putchar(' ');
			print(oth...);
		}
} // namespace FastIO
using FastIO::print;
using FastIO::read;

int n, m, Q, K, a[MAXN], dp[MAXN], tmp[MAXN];

int main() {
#ifdef debug
	freopen("test", "r", stdin);
	// freopen("out_main", "w", stdout);
	clock_t stime = clock();
#endif
	read(n);
	for(int i=1; i<=n; i++) read(a[i]);

	//n-最长递增子序列就是答案

#if 0 
	//未使用二分优化的O(n^2)
	//dp[rig]表示长度为rig的LCS是多少, 子问题是dp[rig-1], dp[rig-2] ... dp[1]
	int ans = 0;
	for(int rig=1; rig<=n; rig++) {
		dp[rig] = 1;
		for(int lef=1; lef<rig; lef++) {
			if(a[rig] > a[lef]) dp[rig] = max(dp[rig], dp[lef]+1);
			ans = max(ans, dp[rig]);
		}
	}
#else
	//使用二分优化到O(nlogn)
	int ans = 0;
	memset(tmp, INF, sizeof(tmp)); //初始化为正无穷,方便后面lower_bound
	tmp[0] = 0;
	for(int rig=1; rig<=n; rig++) {
		int pos = lower_bound(tmp+1, tmp+1+n, a[rig]) - tmp; //找到a[i]对应的位置
		tmp[pos] = a[rig];         //替换a[i]一定小于等于tmp[pos] 故替换
		ans = max(ans, pos);       //更新答案
	}
#endif
	printf("%d\n", n-ans);         





#ifdef debug
	clock_t etime = clock();
	printf("rum time: %lf 秒\n",(double) (etime-stime)/CLOCKS_PER_SEC);
#endif 
	return 0;
}