LeetCode-Unique Paths的一种算法

LeetCode-Unique Paths的一种算法

题目链接：https://leetcode.com/problems/unique-paths/

A robot is located at the top-left corner of a m x n grid (marked ‘Start’ in the diagram below).

The robot can only move either down or right at any point in time. The robot is trying to reach the bottom-right corner of the grid (marked ‘Finish’ in the diagram below).

How many possible unique paths are there?

Example 1:
Input: m = 3, n = 2
Output: 3
Explanation:
From the top-left corner, there are a total of 3 ways to reach the bottom-right corner:

1. Right -> Right -> Down
2. Right -> Down -> Right
3. Down -> Right -> Right

Example 2:
Input: m = 7, n = 3
Output: 28

题目要求很简单，就是给定一个m x n的方格，左上角为起点，右下角为终点，只能向右或向下移动，问从起点到终点的路径有多少种。
该问题解法有很多种，可以使用DFS、BFS、动态规划、纯数学计算多种方式实现，但是DFS和BFS很容易以为时间或空间的开销太大而报错，于是在这里，我决定使用动态规划的思想实现算法。
动态规划核心思想就是，使用一个数组存储到达该位置的路径数，如此一来，在终点位置存储的就是到达终点位置的路径数。
需要注意的是，起点位置设置为（0, 0）计算路径的位置从（1, 1）开始，因为按照本算法，每次循环是让遍历的点计算其左边和上边的点的路径之和（即前一位置的路径数）。

算法如下

class Solution {
public:
    int uniquePaths(int m, int n) {
        vector<int> vec(n, 1);
        vector<vector<int>> vect(m, vec);		//二维数组用以保存路径数
        //双重循环计算路径数
        for (int i = 1; i < m; i++) {	
            for (int j = 1; j < n; j++) {
            	//到达该位置的路径数量为左边和上边的路径数量之和
                vect[i][j] = vect[i-1][j]+vect[i][j-1]; 
            }
        }
        //返回右下角终点的值，即为到达终点的路径数
        return vect[m-1][n-1];
    }
};

---

本次算法难点在于找到动态规划的递推规律，只要找到其规律，即可迅速得到答案。
由于使用了双重循环，所以该算法的时间复杂度为O(m*n)。