【Luogu4609】建筑师（组合数学）

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洛谷

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博客围绕洛谷的一道题展开，题解先指出数组被最高值分成左右两半，提出暴力dp思路，给出状态转移方程。后发现原方法不够优秀，进一步推导，将能看到的建筑分组看作环排列，得出总方案数与第一类斯特林数相关的结论。

题面

洛谷

题解

首先发现整个数组一定被最高值切成左右两半，因此除去最高值之后在左右分开考虑。
考虑一个暴力 $dp$ ，设 $f[i][j]$ 表示用了 $i$ 个数并且能够看到 $j$ 个的方案数，强制最大值在最右侧。
每次添加最小的一个数放进来： $f[i][j]=f[i-1][j-1]+f[i-1][j]*(i-2)$
如果把它放在最前面，答案加一，也就是 $f[i-1][j-1]$ 转移过来，
否则的话，因为最大值强制放在最后面，所以还剩下 $i-2$ 个位置，所以就像上面这样转移。
那么，答案就是：
我们枚举最高的位置，然后两边分开考虑，
那么就是：

\sum i = 1 n f [i] [A] * f [n - i + 1] [B] * C i - 1 n - 1

$\sum_{i=1}^n f[i][A]*f[n-i+1][B]*C_{n-1}^{i-1}$
这样子复杂度是

O(100∗105+Tn) O ( 100 ∗ 10 5 + T n ) $O(100*10^5+Tn)$ ，可以拿到

40pts 40 p t s $40pts$
代码：

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstdlib>
#include<cstring>
#include<cmath>
#include<algorithm>
using namespace std;
#define ll long long
#define MOD 1000000007
#define MAX 50050
inline int read()
{
    int x=0;bool t=false;char ch=getchar();
    while((ch<'0'||ch>'9')&&ch!='-')ch=getchar();
    if(ch=='-')t=true,ch=getchar();
    while(ch<='9'&&ch>='0')x=x*10+ch-48,ch=getchar();
    return t?-x:x;
}
int f[MAX][101];
int jc[MAX],jv[MAX],inv[MAX];
int C(int n,int m){return 1ll*jc[n]*jv[m]%MOD*jv[n-m]%MOD;}
int main()
{
    f[0][0]=jc[0]=jv[0]=inv[0]=inv[1]=1;
    for(int i=1;i<=50000;++i)
        for(int j=1;j<=100;++j)
            f[i][j]=(f[i-1][j-1]+1ll*f[i-1][j]*(i-2))%MOD;
    for(int i=1;i<MAX;++i)jc[i]=1ll*jc[i-1]*i%MOD;
    for(int i=2;i<MAX;++i)inv[i]=1ll*inv[MOD%i]*(MOD-MOD/i)%MOD;
    for(int i=1;i<MAX;++i)jv[i]=1ll*jv[i-1]*inv[i]%MOD;
    int T=read();
    while(T--)
    {
        int n=read(),A=read(),B=read(),ans=0;
        for(int i=1;i<=n;++i)
            ans=(ans+1ll*f[i][A]*f[n-i+1][B]%MOD*C(n-1,i-1)%MOD)%MOD;
        printf("%d\n",ans);
    }
    return 0;
}

然而这样不够优秀，我们继续颓柿子。
还是一样的，从左往右看和从右往左看是一样的。
所以还是只需要考虑一半，从最高的位置分成左右来看。
如果恰好只能够看见了A个建筑的话，我们可以把所有可以看到的建筑以及被它遮住的所有建筑分组，那么，我们可以把这个顺序认为是一个环，那么每一个能够被看见的建筑一定是这个环中的所有建筑中最高的那个，换而言之，一个环就能确定一部分建筑的顺序，使得它们恰好能够被看到一个，那么一个环排列就可以确定着一种方法。
因为现在左边恰好看见 $A$ 个，右边恰好看见 $B$ 个，所以等价于除了最高位置之外，一共还需要 $A+B-2$ 个环，而总共有 $n-1$ 个建筑可以用来环排列，而左边还需要看见 $A-1$ 个建筑，所以等价于还需要选出 $A-1$ 个环，因此总方案数就是 $C_{A+B-2}^{A-1}*S_{n}^{A+B-2}$
其中是第一类斯特林数。

#include<cstdio>
#define MOD 1000000007
inline int read()
{
    int x=0;bool t=false;char ch=getchar();
    while(ch<'0'||ch>'9')ch=getchar();
    while(ch<='9'&&ch>='0')x=x*10+ch-48,ch=getchar();
    return t?-x:x;
}
int n,A,B,ans;
int S[50050][202],C[202][202];
int main()
{
    S[0][0]=C[0][0]=C[1][0]=1;
    for(int i=1;i<=200;C[++i][0]=1)
        for(int j=1;j<=i;++j)C[i][j]=(C[i-1][j]+C[i-1][j-1])%MOD;
    for(int i=1;i<=50000;++i)
        for(int j=1;j<=i&&j<=200;++j)
            S[i][j]=(1ll*S[i-1][j]*(i-1)+S[i-1][j-1])%MOD;
    int T=read();
    while(T--)
    {
        n=read(),A=read(),B=read();
        printf("%lld\n",1ll*S[n-1][A+B-2]*C[A+B-2][A-1]%MOD);
    }
    return 0;
}