【BZOJ5306】染色（NTT）

题面

BZOJ
洛谷

题解

我们只需要考虑每一个$W[i]$的贡献就好了
令$lim=min(M,\frac{N}{S})$
那么，开始考虑每一个$W[i]$的贡献

$$\sum_{k=0}^{lim}W[k]C_M^kC_N^{kS}\frac{(kS)!}{(S!)^k}\times Others$$
$Others$是其他的东西，先考虑前面这堆东西的意义。
我们枚举恰好出现了 $S$次的颜色个数$k$，那么，选定这些颜色的方案数
首先是从 $M$中颜色中选出$k$种，
然后从 $N$个格子中选择$kS$个来染这 $k$种颜色，
这个的方案数显然是$\frac{(kS)!}{(S!)^k}$，也就是先假设每种颜色的每个格子都不一样
然后再把每种颜色之间的顺序给除掉就好了。
现在考虑 $Others$部分是个什么东西。
显然是后面的格子随便染色，当然，我们不能再让某种颜色出现了 $S$次，所以考虑容斥。
枚举一下有多少个颜色出现了$S$次然后容斥下就好了。
那么，最后写出来的式子就是
$$\sum_{k=0}^{lim}W[k]C_M^kC_N^{kS}\frac{(kS)!}{(S!)^k}\sum_{i=0}^{lim-k}(-1)^iC_{M-k}^iC_{N-kS}^{iS}\frac{(iS)!}{(S!)^i}(M-i-k)^{N-iS-kS}$$
这部分本质上和前面是一样的，最后再让剩下的颜色随意染色就好了。
后面的项过于冗杂，我们换种写法，后面不再枚举剩下的格子中出现 $S$次的颜色个数，
直接枚举总的恰好出现$S$次的颜色个数
$$\sum_{k=0}^{lim}W[k]C_M^kC_N^{kS}\frac{(kS)!}{(S!)^k}\sum_{i=k}^{lim}(-1)^{i-k}C_{M-k}^{i-k}C_{N-kS}^{iS-kS}\frac{(iS-kS)!}{(S!)^{i-k}}(M-i)^{N-iS}$$
然后把组合数全部给拆开 yyb因为$\LaTeX$公式而阵亡
先拆后面
$$(-1)^{i-k}\frac{(M-k)!}{(i-k)!(M-i)!}\frac{(N-kS)!}{(iS-kS)!(N-iS)!}\frac{(iS-kS)!}{(S!)^{i-k}}(M-i)^{N-iS}$$
然后再拆掉前面的
$$W[k]\frac{M!}{(M-k)!k!}\frac{N!}{(kS)!(N-kS)!}\frac{(kS)!}{(S!)^k}$$
把后半部分与 $i$无关的式子提到前面来，把前面式子中的$(S!)^k$放到后面去。
于是整个式子就变成了
$$\sum_{k=0}^{lim}W[k]\frac{M!N!}{k!}\sum_{i=k}^{lim}\frac{(-1)^{i-k}(M-i)^{N-iS}}{(i-k)!(M-i)!(N-iS)!(S!)^{i}}$$
呜，什么时候见过把一个不是从 $0$开始的东西丢在后面的？
当然是前面递增，后面从$0$开始才能卷积啊，
再说了，作为一个正常的 $Oier$一般都是 $i$在$k$前面啊，反过来反过来。
$$\sum_{i=0}^{lim}\frac{M!N!(M-i)^{N-iS}}{(M-i)!(N-iS)!(S!)^{i}}\sum_{k=0}^{i}\frac{W[k]}{k!} \frac{(-1)^{i-k}}{(i-k)!}$$
呜，这个多好看，后面就是个卷积，前面这个东西之和 $i$有关系。
那么大力预处理一波再$NTT$卷一下后面的东西就好啦。

#include<cstdio>
#include<algorithm>
using namespace std;
#define MOD 1004535809
#define MAX 300000
#define MAXX 10000001
inline int read()
{
    int x=0;bool t=false;char ch=getchar();
    while((ch<'0'||ch>'9')&&ch!='-')ch=getchar();
    if(ch=='-')t=-1,ch=getchar();
    while(ch<='9'&&ch>='0')x=x*10+ch-48,ch=getchar();
    return t?-x:x;
}
int fpow(int a,int b)
{
    int s=1;
    while(b){if(b&1)s=1ll*s*a%MOD;a=1ll*a*a%MOD;b>>=1;}
    return s;
}
int r[MAX],Og[MAX],N,E,l;
void NTT(int *P,int opt)
{
    for(int i=0;i<N;++i)if(i<r[i])swap(P[i],P[r[i]]);
    for(int i=1;i<N;i<<=1)
    {
        int w=fpow(3,(MOD-1)/(i<<1));Og[0]=1;
        for(int k=1;k<i;++k)Og[k]=1ll*Og[k-1]*w%MOD;
        for(int p=i<<1,j=0;j<N;j+=p)
            for(int k=0;k<i;++k)
            {
                int X=P[j+k],Y=1ll*P[i+j+k]*Og[k]%MOD;
                P[j+k]=(X+Y)%MOD;P[i+j+k]=(X+MOD-Y)%MOD;
            }
    }
    if(opt==-1)
    {
        reverse(&P[1],&P[N]);
        for(int i=0,inv=fpow(N,MOD-2);i<N;++i)P[i]=1ll*P[i]*inv%MOD;
    }
}
int n,S,m,jc[MAXX],jv[MAXX],W[MAX];
int A[MAX],B[MAX],f[MAX],ans;
void pre()
{
    jc[0]=jv[0]=1;int mx=max(n,max(m,S));
    for(int i=1;i<=mx;++i)jc[i]=1ll*jc[i-1]*i%MOD;
    jv[mx]=fpow(jc[mx],MOD-2);
    for(int i=mx-1;i;--i)jv[i]=1ll*jv[i+1]*(i+1)%MOD;
    for(int i=0;i<=E;++i)f[i]=1ll*fpow(m-i,n-i*S)*jv[m-i]%MOD*jv[n-i*S]%MOD*fpow(jv[S],i)%MOD;
}
int main()
{
    n=read();m=read();S=read();E=min(m,n/S);
    for(int i=0;i<=m;++i)W[i]=read();pre();
    for(N=1;N<=E+E;N<<=1)++l;
    for(int i=0;i<N;++i)r[i]=(r[i>>1]>>1)|((i&1)<<(l-1));
    for(int i=0;i<=E;++i)A[i]=1ll*W[i]*jv[i]%MOD;
    for(int i=0;i<=E;++i)B[i]=(i&1)?MOD-jv[i]:jv[i];
    NTT(A,1);NTT(B,1);
    for(int i=0;i<N;++i)A[i]=1ll*A[i]*B[i]%MOD;
    NTT(A,-1);
    for(int i=0;i<=E;++i)ans=(ans+1ll*f[i]*A[i]%MOD)%MOD;
    ans=1ll*ans*jc[n]%MOD*jc[m]%MOD;
    printf("%d\n",ans);
    return 0;
}