CF954F Runner's Problem（动态规划，矩阵快速幂）

最新推荐文章于 2024-12-01 23:56:03 发布

小蒟蒻yyb

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分类专栏： CF DP 动态规划矩阵乘法

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本文解析了一个 CodeForces 上的算法题目，该题目要求计算在一个特定地图上避开障碍物从起点到终点的不同路径数量。通过离散化障碍区域，并使用矩阵快速幂的方法来高效解决大规模输入的问题。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

题面

CodeForces
翻译：
有一个 $3\times M$ 的田野
一开始你在 $(1,2)$ 位置
如果你在 $(i,j)$ 位置
在不出界的前提下，可以走到 $(i+1,j),(i+1,j±1)$
有 $n$ 段障碍，障碍不能走
询问从 $(1,2)$ 到达 $(M,2)$ 的方案数
$n<=10^4,M<=10^{18}$

题解

发现 $M$ 的范围非常大
很容易往矩阵快速幂的方向考虑
如果知道上一行的方案，以及这一行的状态
很容易可以列出转移矩阵
所以，将所有的障碍段离散
将 $3$ 行分离，检查当前段的障碍组成
构建出转移矩阵
分段做快速幂就行了

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstdlib>
#include<cstring>
#include<cmath>
#include<algorithm>
#include<set>
#include<map>
#include<vector>
#include<queue>
using namespace std;
#define ll long long
#define RG register
#define MAX 11111
#define MOD 1000000007
inline ll read()
{
    RG ll x=0,t=1;RG char ch=getchar();
    while((ch<'0'||ch>'9')&&ch!='-')ch=getchar();
    if(ch=='-')t=-1,ch=getchar();
    while(ch<='9'&&ch>='0')x=x*10+ch-48,ch=getchar();
    return x*t;
}
struct Maxtrix
{
    ll s[5][5];
    void clear(){memset(s,0,sizeof(s));}
    void init(){clear();s[1][1]=s[2][2]=s[3][3]=1;}
    void M000(){clear();s[1][1]=s[1][2]=s[2][1]=s[2][2]=s[2][3]=s[3][2]=s[3][3]=1;}
};
Maxtrix operator*(Maxtrix a,Maxtrix b)
{
    Maxtrix ret;ret.clear();
    for(int i=1;i<=3;++i)
        for(int j=1;j<=3;++j)
            for(int k=1;k<=3;++k)
                ret.s[i][j]=(ret.s[i][j]+1ll*a.s[i][k]*b.s[k][j]%MOD)%MOD;
    return ret;
}
Maxtrix fpow(Maxtrix a,ll b)
{
    Maxtrix s;s.init();
    while(b){if(b&1)s=s*a;a=a*a;b>>=1ll;}
    return s;
}
struct Block{ll l,r;int a;}blk[MAX];
ll tot,top;
ll S[MAX<<2];
ll c[4][MAX<<1];
ll n,Q;
ll M;
int main()
{
    n=read();M=read();
    for(int i=1;i<=n;++i)
    {
        int a=read();ll l=read(),r=read();
        S[++top]=l-1,S[++top]=r;
        blk[++tot]=(Block){l,r,a};
    }
    S[++top]=1;S[++top]=M;
    sort(&S[1],&S[top+1]);
    top=unique(&S[1],&S[top+1])-S-1;
    for(int i=1;i<=n;++i)
    {
        ll L=lower_bound(&S[1],&S[top+1],blk[i].l)-S;
        ll R=lower_bound(&S[1],&S[top+1],blk[i].r)-S;
        c[blk[i].a][L]++;c[blk[i].a][R+1]--;
    }
    Maxtrix ans;ans.clear();ans.s[2][1]=1;
    ll ss[4];ss[1]=ss[2]=ss[3]=0;
    for(int i=2;i<=top;++i)
    {
        ll len=S[i]-S[i-1];
        Maxtrix now;now.M000();
        for(int j=1;j<=3;++j)
        {
            ss[j]+=c[j][i];
            if(ss[j])now.s[j][1]=now.s[j][2]=now.s[j][3]=0;
        }
        now=fpow(now,len);
        ans=now*ans;
    }
    cout<<ans.s[2][1]<<endl;
    return 0;
}