Thief in a Shop CodeForces - 632E FFT+快速幂

最新推荐文章于 2019-09-26 11:04:00 发布

原创最新推荐文章于 2019-09-26 11:04:00 发布 · 328 阅读

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本文介绍了一种使用快速傅立叶变换（FFT）并结合快速幂运算来解决多项式卷积问题的方法，该方法能够将算法的时间复杂度从n*logn*k优化到n*logn*log(k)，适用于需要大量卷积计算的场景。

题目链接点这里

这个我们利用FFT很容易就可以想到一个n*logn*k的算法，，，显然不足以通过此题

然而，卷积运算具有结合律，所以我们可以用快速幂加速计算。。。复杂度为 n*logn*log(k)

#include<algorithm>
#include<iostream>
#include<stdio.h>
#include<cstring>
#include<cmath>
using namespace std;
#define mem(x,y) memset(x,y,sizeof(x))
#define FIN freopen("input.txt","r",stdin)
#define fuck(x) cout<<x<<endl
const double  eps=1e-7;
const int MX=1111*1111*2;
#define INF 0x3f3f3f3f
#define INFLL 0x3f3f3f3f3f3f3f3f
typedef long long LL;
typedef pair<LL,LL> PLL;
#define lson l,m,rt<<1
#define rson m+1,r,rt<<1|1
int n,m;
const double pi = acos(-1.0);
int len,res[MX],mx;//开大4倍
struct Complex
{
    double r,i;
    Complex(double r=0,double i=0):r(r),i(i) {};
    Complex operator+(const Complex &rhs)
    {
        return Complex(r + rhs.r,i + rhs.i);
    }
    Complex operator-(const Complex &rhs)
    {
        return Complex(r - rhs.r,i - rhs.i);
    }
    Complex operator*(const Complex &rhs)
    {
        return Complex(r*rhs.r - i*rhs.i,i*rhs.r + r*rhs.i);
    }
} va[MX],vb[MX],ve[MX],vc[MX];

void rader(Complex F[],int len)   //len = 2^M,reverse F[i] with  F[j] j为i二进制反转
{
    int j = len >> 1;
    for(int i = 1; i < len - 1; ++i)
    {
        if(i < j) swap(F[i],F[j]);  // reverse
        int k = len>>1;
        while(j>=k)
        {
            j -= k;
            k >>= 1;
        }
        if(j < k) j += k;
    }
}
void FFT(Complex F[],int len,int t)
{
    rader(F,len);
    for(int h=2; h<=len; h<<=1)
    {
        Complex wn(cos(-t*2*pi/h),sin(-t*2*pi/h));
        for(int j=0; j<len; j+=h)
        {
            Complex E(1,0); //旋转因子
            for(int k=j; k<j+h/2; ++k)
            {
                Complex u = F[k];
                Complex v = E*F[k+h/2];
                F[k] = u+v;
                F[k+h/2] = u-v;
                E=E*wn;
            }
        }
    }
    if(t==-1)   //IDFT
        for(int i=0; i<len; ++i)
            F[i].r/=len;
}
void Conv(Complex a[],Complex b[],int len)   //求卷积
{
    FFT(a,len,1);
    FFT(b,len,1);
    for(int i=0; i<len; ++i) a[i] = a[i]*b[i];
    FFT(a,len,-1);
    for(int i=0; i<len; ++i) a[i].r=(a[i].r>0.5);
}
void init(Complex *a,Complex *b)
{
    for(int i=0; i<len; i++)a[i].i=0,a[i].r=b[i].r;
}
void _init(Complex *a)
{
    for(int i=0; i<len; i++)a[i].i=0;
}
void Out(int a)    //输出外挂
{
    if(a>9)Out(a/10);
    putchar(a%10+'0');
}
void print(Complex *a)
{
    for(int i=0; i<len; i++)printf("%d ",(int)(a[i].r+0.5));
    cout<<endl;
}
void gao()
{
    len=1;
    while(len<mx)len<<=1;
    // cout<<len<<endl;
    ve[0].r=1;
    while(m)
    {
        //cout<<m<<endl;
        if(m&1)
        {
            init(vc,va);
            Conv(ve,va,len);
            _init(ve);
            //cout<<"ve"<<endl;
            //print(ve);
            init(va,vc);

            if(m==1)break;
        }

        init(vb,va);
        //cout<<"va1"<<endl;
        // print(va);
        // cout<<"vb"<<endl;
        //print(vb);
        Conv(va,vb,len);
        _init(va);
        //cout<<"va2"<<endl;
        // print(va);
        m>>=1;
    }
    for(int i=0; i<len; ++i)res[i]=ve[i].r + 0.5;
    for(int i=0; i<len; i++)if(res[i]) Out(i),putchar(' ');
    cout<<endl;
}
int main()
{
    while(cin>>n>>m)
    {
        int maxn=0;
        for(int i=0; i<n; i++)
        {
            int x;
            scanf("%d",&x);
            maxn=max(maxn,x);
            va[x].r=1;
            va[x].i=0;
        }
        mx=maxn*m+1;
        gao();
    }
    return 0;
}