洛谷-货车运输

最新推荐文章于 2022-08-27 21:55:58 发布

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本文深入探讨了最大生成树算法的应用场景，特别是在处理大规模图数据时的效率优化策略。通过实例讲解，阐述了如何利用并查集和边的排序来快速判断边的有效性，最终实现图退化为树的过程。此外，还介绍了树链剖分和LCA算法在查询链上最小值时的作用。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

训练赛遇到了和货车运输一模一样的题：https://vjudge.net/contest/287775#problem/J

没有想到最大生成树，当时考虑到了删除无效边，但是并没有意识到删除之后图会退化成树，也没有意识到先对边进行排序。

思路：

1. 空间不够开N*N，所以不可能直接记录2点之间的答案。

2. 所以对于每次查询可能是logn内解决。

3. 应该有一些边是没有用的。

4. 观察数据范围猜想可能需要对边进行排序。

5. 对边从大到小排序后想办法判断哪些边是没有用的。

6. 如果该边的两端点u,v 已经联通，那么该边一定没有价值，因为之前的所有边的权值都大于该边的权值。如果已经未联通，那么该边一定需要，作为u->v的答案，之后u-v的最大值不会再被更新。

7. 到此为止，得到了判断边是否有价值的充要条件，判断联通可以用并查集。

8. 原来只是一道最大生成树而已！！！

9. 图退化为树，任意两点间路径唯一。

10. 查询链上最小值？树链剖分？

11. LCA！

#include <bits/stdc++.h>
#define ll long long
#define mp make_pair
#define pb push_back
#define sec second
#define fir first
#define rep(i,a,b) for(int i = (a); i <= (b); i++)
#define per(i,a,b) for(int i = (a); i >= (b); i--)
#define all(x) (x).begin(), (x).end()
#define SZ(x) ((int)(x).size())

using namespace std;
const int N = 5e5+1000;
int fa[N][20],len[N][20];
int deep[N];
int f[N];
int find(int u) {
    if(f[u]!=u) f[u] = find(f[u]);
    return f[u];
}
struct node{
    int u,v,w;
    node(){}
    node(int _u, int _v, int _w) {
        u = _u;
        v = _v;
        w = _w;
    }
    bool operator < (node b) const {
        return w>b.w;
    }
}s[N];
vector<node> edge[N];
void dfs(int u, int f, int d,int w) {
    deep[u] = d;
    fa[u][0] = f;
    len[u][0] = w;
    for(auto x:edge[u]) {
        int v = x.v;
        int w = x.w;
        if(v == f) continue;
        dfs(v, u, d+1, w);
    }
}
void init(int n) {
    for(int j = 1; j <= 19; j++)
        for(int i = 1; i <= n; i++) {
            fa[i][j] = fa[fa[i][j-1]][j-1];
            len[i][j] = min(len[i][j-1],len[fa[i][j-1]][j-1]);
        }
}
int lca(int u, int v){
    int ans = 1e9;
    if(deep[u] < deep[v]) swap(u, v);
    int diff = deep[u] - deep[v];
    for(int i = 19; i >= 0; i--)
        if(diff>>i&1) {
            ans = min(ans,len[u][i]);
            u = fa[u][i];
        }
    if(u == v) return ans;
    for(int i = 19; i >= 0; i--)
        if(fa[u][i] != fa[v][i]) {
            ans = min(ans,len[u][i]);
            u = fa[u][i];
            ans = min(ans,len[v][i]);
            v = fa[v][i];
        }
    return min(ans,min(len[u][0],len[v][0]));
}
int main(){
    //freopen("a.txt","r",stdin);
    int n, m, t;
    scanf("%d%d%d", &n, &m, &t); //n个点，m条边，s为树根
    rep(i, 1, m)
        scanf("%d%d%d",&s[i].u,&s[i].v,&s[i].w);
    sort(s+1,s+m+1);
    for(int i = 1; i <= n; i++) f[i] = i;
    rep(i, 1, m) {
        int u = s[i].u;
        int v = s[i].v;
        int w = s[i].w;
        int fu = find(u);
        int fv = find(v);
        if(fu!=fv) {
            f[fu] = fv;
            edge[u].push_back(node(u,v,w));
            edge[v].push_back(node(v,u,w));
        }
    }
    len[1][0] = 1e9;
    dfs(1, 0, 1, 1e9);
    init(n);
    for(int i = 1; i <= t; i++) {
        int u, v;
        scanf("%d%d", &u, &v);
        printf("%d\n", lca(u, v));
    }
    return 0;
}