AcWing 139 回文子串的最大长度

题目描述：

如果一个字符串正着读和倒着读是一样的，则称它是回文的。给定一个长度为N的字符串S，求他的最长回文子串的长度是多少。

输入格式

输入将包含最多30个测试用例，每个测试用例占一行，以最多1000000个小写字符的形式给出。输入以一个以字符串“END”（不包括引号）开头的行表示输入终止。

输出格式

对于输入中的每个测试用例，输出测试用例编号和最大回文子串的长度（参考样例格式）。每个输出占一行。

输入样例：

abcbabcbabcba
abacacbaaaab
END

输出样例：

Case 1: 13
Case 2: 6

分析：

本题是要求最大回文子串的长度，既然是回文串，自然有对称中心，比如aba的对称中心是b，abba的对称中心是两个b之间，通常，为了统一处理，我们会在字符串之间加入填充字符来统一回文串长度的奇偶性。

方法一：（字符串Hash+二分，时间复杂度：O（nlogn））

按照yxc大佬的思路，仅在每个字符前面添加#,比如aba就被扩充为#a#b#a，遍历每个字符，尝试以所有字符为对称中心的回文串最大的长度可能是多少，比如第一个a，最大回文串是#a#，第二个b，最大回文串是a#b#a。可以发现，当回文串最左边字符是#时，实际回文串的长度就是填充后对称中心左边子串的长度，例如#a#中对称中心a左边只有一个字符，回文串的长度就是1；而当回文串最左边字符是字母时，实际回文串的长度就是填充后对称中心左边子串的长度加上1，例如a#b#a中对称中心b左边有2个字符，回文串的长度就是2 + 1 = 3。可以发现，遍历一遍所有字符的复杂度为O（n），而对于下标为i的字符，其左边回文串最大的长度可能是min(i - 1,n - i)，因为i左边有i - 1个字符，右边有n - i个字符，最大回文串的长度不会超过二者中的较小者。

为了更快的找出以第i个字符为对称中心的长度，我们只要对长度进行二分即可在O（logn）的时间内找到以第i个字符为对称中心的最大回文串长度。

整理下思路，我们需要做什么。首先，对原字符串所有字符的左边位置都填充一个#；然后，对填充后的字符串正序逆序都求下哈希值的前缀和，以便后续在O（1）的时间内判断一段区间内字符是否为回文串；最后，遍历各个字符，二分找出最大回文子串的长度。鉴于需要处理的地方较多，大部分根据上面简单的描述结合代码即可理解，这里仅说下容易错的二分。

二分的第一步，明确查找的目标，我们需要找到一个len，使得在字符串在len的长度上恰好是回文的，而len + 1就不满足回文性质。可以理解为，二分最终的l就是len的长度，而r则是l + 1的位置，也就是说二分的区间为左闭右开，mid = l + r >> 1，一旦mid位置合法，则l = mid，否则r = mid，这样l指向的位置永远合法，而r的位置永远不合法，边界情况下就是r = l + 1，此刻终止循环。

还有个地方稍微解释下，对于以第i个元素为对称中心左边字符长度为mid的区间为[i - mid,i - 1]，原来与之对称的区间倒过来后变成了[n - (i + mid) + 1,n