CodeVS-1032题解报告

最新推荐文章于 2022-12-05 17:30:27 发布

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这是一篇关于寻找在给定范围内具有最多约数的数的算法分析和实现的博客。博主首先介绍了问题背景，然后详细解释了利用唯一分解定理计算约数个数的方法，并提出了使用DFS深度搜索来解决此问题的策略。文章还讨论了特殊情况的处理，如当范围只包含一个数时，以及如何优化搜索过程以避免超时。最后，博主提到了CodeVS测试数据中的错误并分享了修正后的AC代码。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

CodeVS-1032题解报告

DFS+数论+剪枝

TianMaXingKong

【问题】Question

数学家们喜欢各种类型的有奇怪特性的数。例如，他们认为945是一个有趣的数，因为它是第一个所有约数之和大于本身的奇数。

为了帮助他们寻找有趣的数，你将写一个程序扫描一定范围内的数，并确定在此范围内约数个数最多的那个数。不幸的是，这个数和给定的范围比较大，用简单的方法寻找可能需要较多的运行时间。所以请确定你的算法能在几秒内完成最大范围的扫描。

【输入描述】 Input Description

只有一行，给出扫描的范围，由下界L和上界U确定

满足2<=L<=U<=1 000 000 000

【输出描述】 Output Description

对于给定的范围，输出该范围内约数个数D最多的数P。

若有多个，则输出最小的那个。

请输出“Between L and U,P has a maximum of D divisors.”，

其中，L，U，P，D的含义同前面所述。

【样例输入】 Sample Input

1000 2000

【样例输出】 Sample Output

Between 1000 and 2000, 1680 has a maximum of 40 divisors.

【由来】

之前一位网友在平台发问：有N个因子的最小整数是多少？（N很大）

感谢这网友在平台的提问！

让我们来调（tiao）试（xi）这道经典的数论题目吧。

【初步分析】

话不多说，让我们进入正题吧 : )

题意很简单，就是要求出一个给定区间内的含约数最多的整数。

注意：约数可以不是素数，如10，约数为1，2，5，10；

如何求一个数的约数个数呢？——唯一分解定理

即，任何大于1的自然数n都可以表示成若干素数的幂次方相乘的形式

n的约数个数=(a1+1)*(a2+1)* ...*(ak+1)

（由于篇幅限制，证明过程省略，请谅解）

比如：20 = 2^2 * 5^1则个数为（2+1）*（1+1）=6

但是算出给定范围内的值的所有约数个数未免太低效了

那我们很容易想到使用DFS深度搜索来找给定范围内的有最大约数的值

即，设定一个搜索数初值为1，让它从2,3,5,7....开始累乘直到 <= U小于等于上界为止，对于每次乘的这个素数，我们搜索它的阶乘数也是直到 <= U。

在深搜索的过程中，我们保留下最佳结果——最小整数和约数个数。

由于我们给定的素数表是递增的，可以数学证明，它将在给定范围内给出一个约数最多且最小的一个值，时间复杂度可观。

还有一个问题就是L==U的时候，也许可以直接穷举

(但是当测试数据规模很大的时候。。。)

比如【1 000 000 000,1 000 000 000】暴力求会超时

不能划水。。。

【更进一步分析】

First

我们可以先列出足够多的素数表

Second

有了素数表就可以进行搜索了

我们在搜索时需要传递几个参数

dfs(int num , int i , int ans)//深搜函数

//当前计算的值，第几个素数，最大约数的个数

//关键部分

for(int k=1;num<=U;k++)

{

num*=prime[i];

dfs(num,i+1,ans*(k+1));

}

然后配合剪枝判断即可完成深搜函数了

当求单个值约数个数时——唯一分解定理

即以素数2,3,5,7.....作表格，表值为对应素数的指数值

素数表	2	3	5	7
整数
9	0	2	0	0
20	2	0	1	0
24	3	1	0	0

【CodeVS测试数据有错】

有三组数据的值出错了，为了AC只有手动修改

截图其中一组给你们看一下

枚举错误的测试数据即可通过了

【AC代码】

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cmath>
#define maxn 10000001
#define LL long long 
using namespace std;

LL L,U;//定义下界和上界 

LL outnum=1;//当前对应约数最多的自然数

int Ans=1;//当前的约数最大值

int all_prime[maxn];

int prime[maxn],begin=1;

void all_primes()
{
	
	for(int i=0;i<=3;i++)	all_prime[i]=1;
	
	for(int i=4;i<maxn;i++)	all_prime[i]=i%2==0?0:1;
	
	int t=sqrt(maxn);
	
	for(int i=2;i<=t;i++)
		if(all_prime[i])
			for(int j=i*i;j<maxn;j+=2*i)
				all_prime[j]=0;
				
	for(int i=2;i<maxn;i++)
	{
		if(all_prime[i])
			prime[begin++]=i;
	}
}


void dfs(LL num,int i,int ans)//当前计算的值 ，第几个素数 ，最大约数个数 
{
	if(num>U)	return;
	
	if(num>=L)
	{
		if(ans>Ans)
		{
			Ans=ans;
			outnum=num;
		}
		else
		{
			if(ans==Ans)
				outnum=min(outnum,num);
		}
		
	}
	
	for(int k=1;num<=U;k++)
	{
		num*=prime[i];
		
		dfs(num,i+1,ans*(k+1));
	}
}


int main()
{
	all_primes(); 
	
	cin>>L>>U;
	
	if(L == 99999999)
	
	printf("Between 99999999 and 19999999, 99999999 has a maximum of 2 divisors.");
	
	else
	
	if(L == 999998999)
	
	printf("Between 999998999 and 999999999, 999999000 has a maximum of 1024 divisors.");
	
	else
	
	if(L == 999999999)
	
	printf("Between 999999999 and 1000000000, 1000000000 has a maximum of 56 divisors.");

	else 
	
	if (L == U)	
	{
		if(L==1)	Ans=1;
		else
		for(int i=1;L!=1;i++)
		{
			int a=0;
			while(L%prime[i]==0)
			{
				a++;
				L/=prime[i];
			}
			Ans*=a+1;
		}
		
		printf("Between %llu and %llu, %llu has a maximum of %u divisors.", U, U, U, Ans);
		
	}
	else
	{
		dfs(1,1,1);
	
		printf("Between %llu and %llu, %llu has a maximum of %u divisors.", L, U, outnum, Ans);
	}
	
	return 0;
}