一般图匹配带花树详解

其核心思想还是找增广路

这里必须提到为什么二分图的算法和一般图要分开，在于二分图是不可能有奇环的（为什么可以自己画个图试试），而处理一般图的瓶颈就在于奇环的处理

让我们来慢慢看

假设已经匹配好了一堆点，我们从一个没有匹配的节点s开始，使用BFS生成搜索树。每当发现一个节点u，如果u还没有被匹配，就可以进行一次成功的增广；否则，我们就把节点u和它的配偶v一同接到树上，之后把ｖ丢进队列继续搜索。我们给每个在搜索树上的点一个类型：S或者T。当ｕ把它的配偶ｖ扔进队列的时候，我们把ｕ标记为T型，ｖ标记为S型

其中黑色为S型，红色为T型

那么问题来了
一个S型点ｄ在某一步扩展的时候发现了点ｕ，如果ｕ已经在搜索树上了（即，出现了环），怎么办？

1） 我们规定，如果ｕ的类型是T型，就无视这次发现；（这意味着我们找到了一个长度为偶数的环，直接无视）

否则，我们找到了一个长度为奇数的环，就要进行一次“缩花”的操作！所谓缩花操作，就是把这个环缩成一个点
缩点完成之后，还要把原来环里面的T型点统统变成S型点，之后扔到队列里去，然后这个图就变成了5个点的图

为什么能缩成一个点呢？我们看一个长度为奇数的环，如果我们能够给它中的任意一个点找一个出度（配偶），那么环中的其他点正好可以配成对，这说明，每个点的出度都是等效的

这就是我们缩点的思想来源。有一个劳苦功高的计算机科学家证明了：缩点之前和缩点之后的图是否有增广路的情况是相同的。

缩起来的点又叫一朵花（ｂｌｏｓｓｏｍ）．注意到，组成一朵花的里面可能嵌套着更小的花。

当我们最终找到一条增广路的时候，要把嵌套着的花层层展开，还原出原图上的增广路出来

 

哈哈哈，听起来就特别麻烦，具体实现呢，，，当然不会太简单

来看一看具体要点

我们记录一个next数组，表示最终增广的时候的路径上的后继。同时维护一个并查集，表示每个点现在在以哪个点为根的花里（一个花被缩进另一朵花之后就不算花了）。还要记录每个点的标记

主程序是一段BFS。对于每个由ｘ发展出来的点ｙ，分４种情况讨论：
１）ｘｙ是配偶或者ｘｙ现在是一个点（在一朵花里）：直接无视
２）ｙ是T型点：直接无视
３）ｙ目前单身：太好了，进行增广！
４）ｙ是一个S型点：缩点！缩点！

 

 

缩点工作：
１）找ｘ和ｙ的LCA（的根）ｐ
２）在next数组中把ｘ和ｙ接起来（表示它们形成环了！）
３）从ｘ、ｙ分别走到ｐ，修改并查集使得它们都变成一家人，同时沿路把next数组接起来。

next数组很奇妙。每时每刻，它实际形成了若干个挂在一起的双向链表来表示一朵花内部的走法。

 

就酱，模板的话就留到kaungbin的最后两个题再放出来好啦