数据结构进阶（一）

二叉树与平衡树详解

最新推荐文章于 2025-07-06 19:06:36 发布

Y_lx

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分类专栏：数据结构基础算法文章标签：数据结构算法

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1. 二叉查找树

参考：深入学习理解二叉搜索树（附详细讲解与实例分析）

1.1 基本概念

二叉查找树，也称二叉搜索树，或二叉排序树。其要么是一颗空树，要么就是具有如下性质的二叉树：

（1）若任意节点的左子树不空，则左子树上所有结点的值均不大于它的根结点的值；

（2）若任意节点的右子树不空，则右子树上所有结点的值均不小于它的根结点的值；

（3）任意节点的左、右子树也分别为二叉查找树；

在这里插入图片描述

1.2 基本操作

对于一棵二叉搜索树来说，它支持许多动态集合操作，包括**WALK（遍历）、SEARCH（查找）、MINIMUM（最小关键字）、MAXIMUM（最大关键字）、SUCCESSOR（后继）、PREDECESSOR（前驱）、INSERT（插入）、DELETE（删除）**等。下面将依次讲解这些操作。

1.2.1 Walk（遍历）

得益于二叉搜索树的性质，当使用中序遍历来访问一棵二叉搜索树上的所有结点时，最后得到的访问序列恰好是所有结点关键字的升序序列。

    /* 中序遍历 */
    void inOrder_Tree_Walk(BSTNode x)
    {
   
   
        if (x != NULL)
        {
   
   
            inOrder_Tree_Walk(x.lchild);
            System.out.println(x.getKey())
            inOrder_Tree_Walk(x.rchild);
        }
    }

树的先序遍历和后序遍历也类似。

1.2.2 Search（查找）

在二叉搜索树中查找一个具有给定关键字key的结点，需要输入一个指向树根的指针x和一个关键字k，如果这个结点存在，则TREE-SEARCH返回一个指向关键字为k的结点的指针；否则返回NULL。

具体查找过程为：
① 从树根开始查找，并沿着这棵树中的一条简单路径向下进行；
② 若树为空树，则查找失败，返回NULL；
③ 对于遇到的每个结点x，若关键字k等于结点x的关键字，查找终止，返回指向结点x的指针；
④ 若关键字k小于结点x的关键字，则查找在x的左子树中继续（根据二叉搜索树的性质，k此时不可能在右子树中）；
⑤ 对称地，若关键字k大于结点x的关键字，则查找在x的右子树中继续（k此时不可能在左子树中）；
⑥ 若查找至叶子结点后仍未匹配到相等的关键字，则关键字为k的结点不存在，返回NULL。

    /**
     * 查找（递归实现）
     * 输入：一个指向根节点的指针x，和待查找的关键字k
     * 输出：指向关键字为k的节点的指针（若存在，否则输出NULL）
     */
    BSTNode tree_Search(BSTNode x, double k)
    {
   
   
        if (x == NULL || k == x.getKey())       /* 如果找不着就返回NULL，找到了则返回对应节点的指针 */
            return x;