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1. 二叉查找树
1.1 基本概念
二叉查找树,也称二叉搜索树,或二叉排序树。其要么是一颗空树,要么就是具有如下性质的二叉树:
(1)若任意节点的左子树不空,则左子树上所有结点的值均不大于它的根结点的值;
(2)若任意节点的右子树不空,则右子树上所有结点的值均不小于它的根结点的值;
(3)任意节点的左、右子树也分别为二叉查找树;
1.2 基本操作
对于一棵二叉搜索树来说,它支持许多动态集合操作,包括**WALK(遍历)、SEARCH(查找)、MINIMUM(最小关键字)、MAXIMUM(最大关键字)、SUCCESSOR(后继)、PREDECESSOR(前驱)、INSERT(插入)、DELETE(删除)**等。下面将依次讲解这些操作。
1.2.1 Walk(遍历)
得益于二叉搜索树的性质,当使用中序遍历来访问一棵二叉搜索树上的所有结点时,最后得到的访问序列恰好是所有结点关键字的升序序列。
/* 中序遍历 */
void inOrder_Tree_Walk(BSTNode x)
{
if (x != NULL)
{
inOrder_Tree_Walk(x.lchild);
System.out.println(x.getKey())
inOrder_Tree_Walk(x.rchild);
}
}
树的先序遍历和后序遍历也类似。
1.2.2 Search(查找)
在二叉搜索树中查找一个具有给定关键字key的结点,需要输入一个指向树根的指针x和一个关键字k,如果这个结点存在,则TREE-SEARCH返回一个指向关键字为k的结点的指针;否则返回NULL。
具体查找过程为:
① 从树根开始查找,并沿着这棵树中的一条简单路径向下进行;
② 若树为空树,则查找失败,返回NULL;
③ 对于遇到的每个结点x,若关键字k等于结点x的关键字,查找终止,返回指向结点x的指针;
④ 若关键字k小于结点x的关键字,则查找在x的左子树中继续(根据二叉搜索树的性质,k此时不可能在右子树中);
⑤ 对称地,若关键字k大于结点x的关键字,则查找在x的右子树中继续(k此时不可能在左子树中);
⑥ 若查找至叶子结点后仍未匹配到相等的关键字,则关键字为k的结点不存在,返回NULL。
/**
* 查找(递归实现)
* 输入:一个指向根节点的指针x,和待查找的关键字k
* 输出:指向关键字为k的节点的指针(若存在,否则输出NULL)
*/
BSTNode tree_Search(BSTNode x, double k)
{
if (x == NULL || k == x.getKey()) /* 如果找不着就返回NULL,找到了则返回对应节点的指针 */
return x;