C++ 实现 0-1 背包问题

参考链接:https://blog.youkuaiyun.com/chengonghao/article/details/51915753

1.什么是动态规划

 

首先介绍一下动态规划...

设计一个动态规划算法，通常可按照以下几个步骤进行：

(1) 找出最优解的性质，并刻画其结构特征。

(2) 递归地定义最优解的值

(3) 以自底而上的方式计算出最优值

(4) 根据计算最优值时得到的信息，构造一个最优解。

 

对于一个给定的问题，若具有以下两个性质，则可以考虑用动态规划法来求解。

(1) 最优子结构。如果一个问题的最优解中包含了其子问题的最优解，就说该问题具有最优子结构。当一个问题具有最优子结构时，提示我们动态规划法可能会适用，但是此时贪心策略可能也是适用的。

(2) 重叠子问题。指用来解原问题的递归算法可反复地解同样的子问题，而不是总在产生新的子问题。即当一个递归算法不断地调用同一个问题时，就说该问题包含重叠子问题。此时若用分治法递归求解，则每次遇到子问题都会视为新问题，会极大地降低算法的效率，而动态规划法总是充分利用重叠子问题，对于每个子问题仅计算一次，把解保存在一个在需要时就可以查看的表中，而每次查表的时间为常数。

 

2.0-1背包问题

 

问题：有n个物品，第i个物品价值为vi，重量为wi，其中vi和wi均为非负数，背包的容量为W，W为非负数。现需要考虑如何选择装入背包的物品，使装入背包的物品总价值最大。该问题以形式化描述如下：

       目标函数为 ：     

       约束条件为：

       满足约束条件的任一集合（x1，x2，...，xn）是问题的一个可行解，问题的目标是要求问题的一个最优解。考虑一个实例，假设n=5，W=17， 每个物品的价值和重量如表9-1所示。可将物品1，2和5装入背包，背包未满，获得价值22，此时问题解为你（1，1，0，0，1）。也可以将物品4和5装入背包，背包装满，获得价值24，此时解为（0，0，0，1，1）。

      下面根据动态规划的4个步骤求解该问题。

(1) 刻画0-1背包问题的最优解的结构。

      可以将背包问题的求解过程看作是进行一系列的决策过程，即决定哪些物品应该放入背包，哪些物品不放入背包。如果一个问题的最优解包含了物品n，即xn=1，那么其余x1，x2，...，x(n-1)一定构成子问题1，2，...，n-1在容量W-wn时的最优解。如果这个最优解不包含物品n，即xn=0，那么其余x1，x2，...，x(n-1)一定构成子问题1，2，...，n-1在容量W时的最优解。

 

(2)递归定义最优解的值

     根据上述分析的最优解的结构递归地定义问题最优解。设c[i,w]表示背包容量为w时，i个物品导致的最优解的总价值，得到下式。显然要求c[n,w]。

 

(3)计算背包问题最优解的值

代码实现如下:

//knapsack.cpp : 定义控制台应用程序的入口点
#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <vector>
 
using namespace std;
/*
	0-1 背包问题（迭代版）
	输入：
		products_count：商品的数量
		capacity：背包的容量
		weight_array：商品重量数组
		value_array：商品价格数组
		result：结果数组
*/

int knapsack(int products_count,int capacity,vector<int> &weights,vector<int> &values,vector<vector<int>> &res){
	for(int i=1;i<=products_count;i++){//i个物品 
		for(int j=1;j<=capacity;j++){//背包容量为j 
			if(weights[i] > j){//当前背包的容量 j 放不下第 i 件商品时
			    res[i][j] = res[i-1][j];
			}else
			{
				res[i][j] = max( res[i-1][j-weights[i]] + values[i] , res[i-1][j]);
			}
		}		
	}
		
	return res[products_count][capacity];
}

int main(){
	int products_count,capacity;
	cout << "please input products count and knapsack's capacity: " << endl; // 输入商品数量和背包容量
	cin>>products_count>>capacity;
	vector<int> weights(products_count + 1,0);
	vector<int> values(products_count + 1,0);
	cout << "please input weight array for " << products_count << " products" << endl;
	for(int i=1;i<=products_count;i++)
		cin>>weights[i];

	cout << "please input value array for " << products_count << " products" << endl;
	for(int i=1;i<=products_count;i++)
		cin>>values[i];
		
	vector<vector<int>> res(products_count + 1,vector<int> (capacity + 1,0));
	knapsack(products_count,capacity,weights,values,res);
	cout << "knapsack result is " << res[products_count][capacity] << endl;

		
	return 0;
} 

输入 5 件商品，重量分别为3、4、7、8、9，价格分别为4、5、10、11、13，背包容量为17

结果如下：

 

上述代码的时间复杂度为O(商品数量 * 背包容量)。

result 矩阵如下表所示：

简洁版：

#include<iostream>
#include<vector>

using namespace std;

int fun(int n,int v,vector<int> weight,vector<int> price,vector<vector<int>> res){
    for(int i=1;i<=n;++i){
        for(int j=1;j<=v;++j){
            if(weight[i] > j)
                res[i][j] = res[i-1][j];
            else
                res[i][j] = max(res[i-1][j-weight[i]]+price[i],res[i-1][j]);
        }
    }
    return res[n][v];
}

int main(){
    int n,v;
    cin>>n>>v;
    
    vector<int> weight(n+1,0);
    vector<int> price(n+1,0);
    vector<vector<int>> res(n+1,vector<int>(v+1,0));
    
    for(int i=1;i<=n;++i){
        cin>>weight[i]>>price[i];
    }
    
    int ans = fun(n,v,weight,price,res);
    cout<<ans<<endl;
    
    return 0;
}

优化版:

(动规+一维数组)
状态转移方程为：f[j]=max(f[j],f[j-w[i]]+v[i]

#include<iostream>
#include<vector>

using namespace std;

int fun(int n,int v,vector<int> weight,vector<int> price,vector<int> res){
    for(int i=1;i<=n;++i){
        for(int j=v;j>=weight[i];--j){//注意j必须从v开始
                res[j] = max(res[j-weight[i]]+price[i],res[j]);
        }
    }
    return res[v];
}

int main(){
    int n,v;
    cin>>n>>v;
    
    vector<int> weight(n+1,0);
    vector<int> price(n+1,0);
    vector<int> res(v+1);
    
    for(int i=1;i<=n;++i){
        cin>>weight[i]>>price[i];
    }
    
    int ans = fun(n,v,weight,price,res);
    cout<<ans<<endl;
    
    return 0;
}