弗洛伊德(Floyd)算法

最新推荐文章于 2025-06-11 23:18:40 发布

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本文深入解析了弗洛伊德算法，一种用于求解任意顶点间最短路径的有效方法。介绍了算法的基本原理，包括邻接矩阵和路径矩阵的概念，以及迭代更新的过程。最后，提供了详细的Python代码实现。

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弗洛伊德(Floyd)算法可求解任意顶点间的最短路径。

在Floyd算法中，需要两个矩阵，一个是邻接矩阵A，最开始，A[i][j]的值为节点i到节点j的边的权值，如果i到j没有边，A[i][j]= $\infty$ ，特别地，A[i][i]=0。另一个矩阵为P，P[i][j]的值为从i到j的路径上节点i的下一个节点，通过该矩阵可以找出任意节点i到节点j的最短路径。最开始，若i与相邻,则P[i][j]=j，否则P[i][j]=-1。

之后将对A和P进行n次迭代更新过程，n为节点个数，迭代更新原则是:

$A_{k+1}[i][j]=min{}\left \{ A_{k}[i][j],A_{k}[i][k]+A_{k}[k][j] \right \}(0\leqslant k\leqslant n-1)$

如果 $A_{k+1}[i][j]=A_{k}[i][k]+A_{k}[k][j]$ ，那么 $P_{_{k+1}}[i][j]=P_{_{k}}[i][k]$ 。

最终得到的A[i][j]就是i到j的最短路径长度,P[i][j]是i到j的最短路径上,i节点的下一个节点。

以下是Floyd算法的python代码

import numpy as np
def floyd_shortest_paths(graph):
    vnum=graph.vertex_num()
    a=[[graph.get_edge(i,j) for j in range(vnum)]\
       for i in range(vnum)]
    p=[[-1 if a[i][j]==np.inf else j for j in range(vnum)] \
       for i in range(vnum)]
    for k in range(vnum):
        for i in range(vnum):
            for j in range(vnum):
                if a[i][j]>a[i][k]+a[k][j]:
                    a[i][j]=a[i][k]+a[k][j]
                    p[i][j]=p[i][k]
    return (a,p)