poj1811（miller_robin和pollard分解因数的随机性算法）

/*
translation:
	题意很简单，给定一个数，判断其是否为素数。如果不是素数，还需要给出最小的素因子。
solution:
	这道题不能用常规的素数算法来做，因为肯定超时。所以需要用到一种随机性算法。
	称之为Miller_robin算法。该算法可以在一定的错误概率内判断一个数是否为素数。求最小的
	素因子也需要用到另外一种随机性算法pollard-rho算法。该算法可以随机性地将一个数分解因子。
	但注意并非按照从小到大的顺序分解，而是随机性地分解。
note:
	# 注意这道题中用到的gcd算法中的参数可能小于0,所以计算的时候注意分别讨论。
	# long long的数相乘可能溢出，所以需要专门用multi_mod方法来处理。
	# 关于这道题有一点需要优化，那就是multi_mod中的res -= n语句，相当与res %= n。但是后者运行时间为
	1024ms，改成前者后只有436ms，因为取模运算慢。
	* 关于miller_robin算法：
		& 原理：
		该算法是基于费马定理，即“对于a^(n-1) == 1(mod n)”如果成立，则有一定概率表明n是素数，如果不满足
		则100%确定是合数。根据该原理即可测试出一个数是否为素数。（a是随机数）
		& 漏洞：
		该原理如果直接应用的话势必WA，原因很简单，如果测试结果是合数的话，一定正确。但是如果是素数的话，则只是
		在一定几率下是正确的（虽然几率不大）。例如在a=2情况下，数字314就是一个“漏网之鱼”。
		& 改进：
		miller_robin算法就是对其进行了两点改进，克服了存在的问题
			1--选取了多个随机值a。
			2--每当计算每个模取幂时，在最后一组平方里，寻找一个以n为模的1的非平凡平方根。如果找到，说明是合数。
		& 实现细节：见算导p567
date:
	2016.10.25
*/
#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstdlib>
#include <ctime>

using namespace std;
const int s = 20;	//随机算法的运算次数
typedef long long ll;

ll n, ans;

ll multi_mod(ll a, ll b, ll n)
{
	a %= n;
	b %= n;
	ll res = 0;
	while(b)
	{
		if(b & 1)
		{
			res += a;
			if(res >= n)	res -= n;
		}
		a <<= 1;
		if(a >= n) a -= n;
		b >>= 1;
	}
	return res;
}

ll pow_mod(ll x, ll n, ll mod)
{
	if(n == 1)	return x % mod;
	x %= mod;

	ll tmp = x;
	ll res = 1;
	while(n > 0)
	{
		if(n & 1)	res = multi_mod(res, tmp, mod);
		tmp = multi_mod(tmp, tmp, mod);
		n >>= 1;
	}
	return res;
}

bool witness(ll a, ll n, ll u, ll t)
{
	ll res = pow_mod(a, u, n);
	ll last = res;
	for(int i = 0; i < t; i++)
	{
		res = multi_mod(res, res, n);
		if(res == 1 && last != 1 && last != n-1)	return true;
		last = res;
	}
	if(res != 1)	return true;
	else		return false;
}

bool robin_miller(ll n)	//判断是否素数
{
	if(n < 2)	return false;
	if(n == 2)	return true;
	if(!(n & 1))	return false;

	ll u = n - 1, t = 0;
	while(!(u & 1))	u >>= 1, t++;
	if(t >= 1 && (u & 1) == 1)
	{
		for(int i = 0; i < s; i++)
		{
			ll a = rand() % (n-1) + 1;
			if(witness(a, n, u, t))	return false;	//不是素数
		}
	}
	return true;	//是素数
}

ll gcd(ll a, ll b)
{
	if(a == 0)	return 1;
	if(a < 0)	return gcd(-a, b);
	while(b)
	{
		ll t = a % b;
		a = b;
		b = t;
	}
	return a;
}

ll pollard_rho(ll x, ll c)
{
	ll i = 1, x0 = rand() % x;
	ll y = x0;
	ll k = 2;
	for(;;)
	{
		i++;
		x0 = (multi_mod(x0, x0, x) + c) % x;
		ll d = gcd(y - x0, x);	//这里传给gcd的参数可能负数，注意分别讨论
		if(d != 1 && d != x) return d;	//这里表明找到了一个因子
		if(y == x0)	return x;
		if(i == k)
		{
			y = x0;
			k += k;
		}
	}
}

void find_fac(ll n)
{
	//if(n == 1)	return;
	if(robin_miller(n))
	{
		ans = min(ans, n);
		return;
	}
	ll p = n;
	while(p >= n) p = pollard_rho(p, rand() % (n-1) + 1);
	find_fac(p);
	find_fac(n / p);
}

int main()
{
	srand(time(NULL));
    int T;
    scanf("%d", &T);
    while(T--)
	{
		scanf("%lld", &n);
		if(robin_miller(n))	printf("Prime\n");
		else
		{
			ans = n;
			find_fac(n);
			printf("%lld\n", ans);
		}
	}
    return 0;
}