三、四元数以及陀螺仪角速度

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前言

本节结来讨论四元数

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一、从复数到四元数

众所周知，在复平面上旋转变换非常容易，那么有没有比复数系更加复杂的数系，理论上是没有，因为一旦我们对复数进行推广就必须牺牲乘法交换律。那么牺牲交换律过后我们能把复数扩张到哪种程度呢？
首先复数的一般形式为$a+bi$，那么我们先来看能不能增加一个虚数单元呢？
假设复数扩张后我们得到数的更一般的形式$a+bi+cj$，其中$a,b,c$为实数，$i,j$是两个虚数单位，并且满足已知的复数乘法规则：$ii=-1,jj=-1$
显然推广后在做乘法的时候会出现$ij$乘积：我们假设$ij=a+bi+cj$，
那么就有$-j=iij=i(a+bi+cj)=ai-b+cij=ai-b+c(a+bi+cj)=ca-b+(a+cb)i+c^{2}j$，显然这个式子要成立，我们需要实数$c$满足$c^2=-1$，很遗憾我们看到“三元数”是不能存在的。
上面得到的教训是$ij$不属于集合$a+bi+cj$，于是我们令$ij=k$，并把集合扩大成$a+bi+cj+dk$，新的形式如果做乘法一定会出现诸如$ij,jk,ki,ji,kj,ik$的形式，那么参照推导“三元数”的逻辑，可以令$jk=i,ki=j$，那么还有$ji,kj,ik$的乘积呢?
试一下：$-j=iij=ik$，因此有$ki=-ik$，我们看到为了使得逻辑自洽，我们只能牺牲乘法交换律了。
当然我们还要看看除法，实际上由于乘法不满足交换律，我们也只能像矩阵一样的给出逆的左乘和右乘了，而不能像复数那样法除数写在分数线下面了。沿着复数的足迹，老实计算一下发现：
$(a+bi+cj+dk)(a-bi-cj-dk)=a^2+b^2+c^2+d^2=|a+bi+cj+dk{|}^2$
所以我们发现四元数的逆和共轭于复数简直是一模一样。
因此我们宣布，除了乘法交换律不满足以外，复数的最小扩张就是四元数了。

二、用矢量表示四元数

由于四元数有3个虚分量，因此我们用向量形式来简化书写，并且可以使用向量的内积和叉乘来简化公式。
则两个四元数可以表示如下：
$u_1+{\mathbf{v}}_1$
$u_2+{\mathbf{v}}_2$
则$(u_1+{\mathbf{v}}_1)(u_2+{\mathbf{v}}_2)=u_1{u}_2-{\mathbf{v}}_1\cdot {\mathbf{v}}_2+u_1{\mathbf{v}}_2+u_2{\mathbf{v}}_1+{\mathbf{v}}_1\times {\mathbf{v}}_2$
其中内积和叉乘使用一般的向量计算的规则。
棣莫弗公式的推广：
复数的旋转计算中棣莫弗公式非常好用，既然我们都用向量表示了四元数，那么可以可以推广一下棣莫弗公式用来做三维圆转呢？推广的时候注意一下虚部是三维的。
$$u+\mathbf{v}=\sqrt{u^2+{\mathbf{v}}^2}(\frac{u}{\sqrt{u^2+{\mathbf{v}}^2}}+\frac{|\mathbf{v}|}{\sqrt{u^2+{\mathbf{v}}^2}}\frac{\mathbf{v}}{|\mathbf{v}|})$$
如果记：
$$\begin{array}{r}\frac{u}{\sqrt{u^2+{\mathbf{v}}^2}}=cos\theta ,\frac{|\mathbf{v}|}{\sqrt{u^2+{\mathbf{v}}^2}}=sin\theta ,\frac{\mathbf{v}}{|\mathbf{v}|}=\mathbf{n}\end{array}$$
则我们得到一个用模和$\theta$表示的四元数
$$u+\mathbf{v}=|u+\mathbf{v}|(cos\theta +\mathbf{n}sin\theta )$$

三、用四元数对一个矢量进行旋转

简单起见用一个实部为$0$的四元数$A$来表示某个空间向量，该向量绕单位矢量$\mathbf{n}$旋转$\theta$角可以用下面的式子计算：