附录1 张量记号

本文探讨了张量表示及张量与矩阵的关系,详细解释了张量的协变与逆变指标、张量求和约定等概念,并通过具体公式说明了如何利用张量进行运算。

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示例

x^=(x^1,x^2,x^3)T=H1x=H1(x1,x2,x3)Tx^i=(H1)ijxjx^=(x^1,x^2,x^3)T=H−1x=H−1(x1,x2,x3)T的张量表示是:x^i=(H−1)jixj
  • 张量求和约定:在一个乘积中, 当上标和下标重复时,表示对该指标在整个范围内求和

  • 协变指标:xixi

  • 逆变指标:xixi

  • 收缩:HjiljHijlj,张量HjiHij按照直线ljlj收缩

  • 张量和矩阵有密切关系,HijHji可看作HH的第i行,jj列的元素

张量εrst

εrst=0,+11,r,s,tr,s,t123r,s,t123εrst={0,非r,s,t互不相同+1,r,s,t是123的偶置换−1,r,s,t是123的奇置换
  • c=a×bc=a×b则, ci=(a×b)i=εrstajbkci=(a×b)i=εrstajbk

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