杨辉三角每行奇数个数及Lucas′s theorem推导

本文探讨了杨辉三角中奇数的分布规律,利用Lucas定理解析了二进制下杨辉三角行内奇数数量的计算方法,特别关注了素数2的情况。

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求杨辉三角第 nnn 行奇数的个数,或者 ∑i=0n((ni)%2)的值\sum_{i=0}^n(\binom{n}{i}\%2)的值i=0n((in)%2)

杨辉三角,也称帕斯卡三角(Pascal′s trianglePascal's\ trianglePascals triangle),如下图:
在这里插入图片描述
其具有性质:第 nnn 行 第 mmm 列元素值为 (nm)\binom{n}{m}(mn),且有 (nm)=(n−1m−1)+(n−1m)\binom{n}{m}=\binom{n-1}{m-1}+\binom{n-1}{m}(mn)=(m1n1)+(mn1),即第 nnnmmm 列的值等于第 n−1n-1n1m−1m-1m1 列的值与第 n−1n-1n1mmm 列的值的和。

对于任意的素数 ppp 有:
(1)(nm)=(⌊np⌋⌊mp⌋)(n mod pm mod p)(mod p)\binom{n}{m}=\binom{\lfloor\frac{n}{p}\rfloor}{\lfloor\frac{m}{p}\rfloor}\binom{n\ mod\ p}{m\ mod\ p}(mod\ p)\tag{1}(mn)=(pmpn)(m mod pn mod p)(mod p)(1)当n&lt;m时,(nm)=0当 n&lt;m时,\binom{n}{m}=0n<m(mn)=0
证明:
1.当 n mod p≥m mod pn\ mod\ p \ge m\ mod\ pn mod pm mod p 时,因为
(2)n=⌊np⌋⋅p+n mod p \begin{aligned} n=\lfloor\frac{n}{p}\rfloor\cdot p+n\ mod\ p\tag{2} \end{aligned} n=pnp+n mod p(2)
所以有
(3)(1+x)n=(1+x)p⋅⌊np⌋(1+x)n mod p≡(1+xp)⌊np⌋(1+x)n mod p (mod p) \begin{aligned} (1+x)^n&amp;=(1+x)^{p\cdot \lfloor\frac{n}{p}\rfloor}(1+x)^{n\ mod\ p}\\ &amp;\equiv (1+x^p)^{\lfloor\frac{n}{p}\rfloor}(1+x)^{n\ mod\ p}\ (mod\ p)\tag{3} \end{aligned} (1+x)n=(1+x)ppn(1+x)n mod p(1+xp)pn(1+x)n mod p (mod p)(3)考虑公式(3)中xmx^mxm项的模 ppp 系数,左边为(nm) mod p\binom{n}{m}\ mod\ p(mn) mod p右边为 (⌊np⌋⌊mp⌋)(n mod pm mod p)(mod p)\binom{\lfloor\frac{n}{p}\rfloor}{\lfloor\frac{m}{p}\rfloor}\binom{n\ mod\ p}{m\ mod\ p}(mod\ p)(pmpn)(m mod pn mod p)(mod p)
因此当n mod p≥m mod pn\ mod\ p\ge m\ mod\ pn mod pm mod p时,上述等式成立。
2.当 n mod p&lt;m mod pn\ mod\ p&lt;m\ mod\ pn mod p<m mod p 时,(n mod pm mod p)(mod p)=0\binom{n\ mod\ p}{m\ mod\ p}(mod\ p)=0(m mod pn mod p)(mod p)=0而又因为n!n!n!ppp 因子个数为 ∑i=1+∞⌊npi⌋\sum_{i=1}^{+ \infty}\lfloor\frac{n}{p^i}\rfloori=1+pin那么 (4)(nm)=n!m!(n−m)!\binom{n}{m}=\frac{n!}{m!(n-m)!}\tag{4}(mn)=m!(nm)!n!(4)ppp 因子个数为
(5)∑i=1+∞⌊npi⌋−∑i=1+∞(⌊mpi⌋+⌊n−mpi⌋)=∑i=1+∞(⌊npi⌋−⌊mpi⌋−⌊n−mpi⌋) \sum_{i=1}^{+ \infty}\lfloor\frac{n}{p^i}\rfloor-\sum_{i=1}^{+ \infty}(\lfloor\frac{m}{p^i}\rfloor+\lfloor\frac{n-m}{p^i}\rfloor)=\sum_{i=1}^{+ \infty}(\lfloor\frac{n}{p^i}\rfloor-\lfloor\frac{m}{p^i}\rfloor-\lfloor\frac{n-m}{p^i}\rfloor)\tag{5} i=1+pini=1+(pim+pinm)=i=1+(pinpimpinm)(5)
显然
⌊npi⌋−⌊mpi⌋−⌊n−mpi⌋≥0\lfloor\frac{n}{p^i}\rfloor-\lfloor\frac{m}{p^i}\rfloor-\lfloor\frac{n-m}{p^i}\rfloor\ge 0 pinpimpinm0
如果 n mod p&lt;m mod pn\ mod\ p&lt;m\ mod\ pn mod p<m mod p,可以推出
⌊np⌋−⌊mp⌋−⌊n−mp⌋=1\lfloor\frac{n}{p}\rfloor-\lfloor\frac{m}{p}\rfloor-\lfloor\frac{n-m}{p}\rfloor=1 pnpmpnm=1于是(nm)\binom{n}{m}(mn)ppp 因子个数 ≥1\ge11,所以 (nm)≡0(mod p)\binom{n}{m}\equiv 0(mod\ p)(mn)0(mod p) ,即当n mod p&lt;m mod pn\ mod\ p&lt;m\ mod\ pn mod p<m mod p时,式子(1)两边等于0。
综上所述式子(1)得证。
Lucas′s theorem:(nm)≡∏i=0k(nimi)(mod p),其中Lucas&#x27;s\ theorem:\binom{n}{m}\equiv \prod_{i=0}^{k}\binom{n_i}{m_i}(mod\ p),其中Lucass theorem:(mn)i=0k(mini)(mod p)m=mkpk+mk−1pk−1+⋯m1p+m0 m=m_kp^k+m_{k-1}p^{k-1}+\cdots m_1p+m_0m=mkpk+mk1pk1+m1p+m0 n=nkpk+nk−1pk−1+⋯n1p+n0n=n_kp^k+n_{k-1}p^{k-1}+\cdots n_1p+n_0n=nkpk+nk1pk1+n1p+n0且当ni&lt;mi时,(nimi)=0且当n_i&lt;m_i时,\binom{n_i}{m_i}=0ni<mi(mini)=0
证明:利用上述定理对 (⌊np⌋⌊mp⌋)\binom{\lfloor\frac{n}{p}\rfloor}{\lfloor\frac{m}{p}\rfloor}(pmpn)递归展开,便可推出 Lucas′s theoremLucas&#x27;s\ theoremLucass theorem

p=2p=2p=2 时,要使得 (nm)≡1 mod 2\binom{n}{m}\equiv 1\ mod\ 2(mn)1 mod 2,即要求∏i=0k(nimi)≡1 mod p\prod_{i=0}^{k}\binom{n_i}{m_i}\equiv 1\ mod\ pi=0k(mini)1 mod p由于在 n,mn,mn,m 的二进制展开中,系数 1≥ni,mi≥01\ge n_i,m_i\ge 01ni,mi0,所以只有当 ni≥min_i\ge m_inimi 时,(nimi)=1\binom{n_i}{m_i}=1(mini)=1,记 nnn 的二进制表示中 111 的个数为 I(n)I(n)I(n)而对于 nnn 的二进制展开,满足 ni≥min_i\ge m_inimimmm2I(n)2^{I(n)}2I(n) 个,所以对于杨辉三角第 nnn 行数列 (n−10),(n−11),⋯&ThinSpace;,(n−1m),⋯&ThinSpace;,(n−1n)\binom{n-1}{0}, \binom{n-1}{1},\cdots,\binom{n-1}{m},\cdots,\binom{n-1}{n}(0n1),(1n1),,(mn1),,(nn1)其中奇数个数为 2I(n−1)2^{I(n-1)}2I(n1) 个。

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