杨辉三角每行奇数个数及Lucas′s theorem推导

最新推荐文章于 2023-08-12 17:41:26 发布

Deep_Blue7

最新推荐文章于 2023-08-12 17:41:26 发布

阅读量2.9k

点赞数 5

CC 4.0 BY-SA版权

分类专栏：数学

本文链接：https://blog.youkuaiyun.com/qq_27576655/article/details/86562685

数学专栏收录该内容

10 篇文章

订阅专栏

本文探讨了杨辉三角中奇数的分布规律，利用Lucas定理解析了二进制下杨辉三角行内奇数数量的计算方法，特别关注了素数2的情况。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

求杨辉三角第 $n$ 行奇数的个数，或者 $∑i=0n((ni)%2)的值\sum_{i=0}^n(\binom{n}{i}\%2)的值$

杨辉三角，也称帕斯卡三角( $trianglePascal's\ triangle$ )，如下图：
在这里插入图片描述
其具有性质：第 $n$ 行第 $m$ 列元素值为 $(nm)\binom{n}{m}$ ，且有 $(nm)=(n−1m−1)+(n−1m)\binom{n}{m}=\binom{n-1}{m-1}+\binom{n-1}{m}$ ，即第 $n$ 行 $m$ 列的值等于第 $n - 1$ 行 $m - 1$ 列的值与第 $n - 1$ 行 $m$ 列的值的和。

对于任意的素数 $p$ 有：
$p)\binom{n}{m}=\binom{\lfloor\frac{n}{p}\rfloor}{\lfloor\frac{m}{p}\rfloor}\binom{n\ mod\ p}{m\ mod\ p}(mod\ p)\tag{1}$ $n<m时，\binom{n}{m}=0$
证明：
1.当 $pn\ mod\ p \ge m\ mod\ p$ 时，因为
$\begin{aligned} n=\lfloor\frac{n}{p}\rfloor\cdot p+n\ mod\ p\tag{2} \end{aligned}$
所以有
$\begin{aligned} (1+x)^n&=(1+x)^{p\cdot \lfloor\frac{n}{p}\rfloor}(1+x)^{n\ mod\ p}\\ &\equiv (1+x^p)^{\lfloor\frac{n}{p}\rfloor}(1+x)^{n\ mod\ p}\ (mod\ p)\tag{3} \end{aligned}$ 考虑公式(3)中 $x^m$ 项的模 $p$ 系数，左边为 $p\binom{n}{m}\ mod\ p$ 右边为 $p)\binom{\lfloor\frac{n}{p}\rfloor}{\lfloor\frac{m}{p}\rfloor}\binom{n\ mod\ p}{m\ mod\ p}(mod\ p)$
因此当 $pn\ mod\ p\ge m\ mod\ p$ 时，上述等式成立。
2.当 $pn\ mod\ p<m\ mod\ p$ 时， $p)=0\binom{n\ mod\ p}{m\ mod\ p}(mod\ p)=0$ 而又因为 $n!$ 的 $p$ 因子个数为 $∑i=1+∞⌊npi⌋\sum_{i=1}^{+ \infty}\lfloor\frac{n}{p^i}\rfloor$ 那么 $(4)(nm)=n!m!(n−m)!\binom{n}{m}=\frac{n!}{m!(n-m)!}\tag{4}$ 的 $p$ 因子个数为
$\sum_{i=1}^{+ \infty}\lfloor\frac{n}{p^i}\rfloor-\sum_{i=1}^{+ \infty}(\lfloor\frac{m}{p^i}\rfloor+\lfloor\frac{n-m}{p^i}\rfloor)=\sum_{i=1}^{+ \infty}(\lfloor\frac{n}{p^i}\rfloor-\lfloor\frac{m}{p^i}\rfloor-\lfloor\frac{n-m}{p^i}\rfloor)\tag{5}$
显然
$⌊npi⌋−⌊mpi⌋−⌊n−mpi⌋≥0\lfloor\frac{n}{p^i}\rfloor-\lfloor\frac{m}{p^i}\rfloor-\lfloor\frac{n-m}{p^i}\rfloor\ge 0$
如果 $pn\ mod\ p<m\ mod\ p$ ，可以推出
$⌊np⌋−⌊mp⌋−⌊n−mp⌋=1\lfloor\frac{n}{p}\rfloor-\lfloor\frac{m}{p}\rfloor-\lfloor\frac{n-m}{p}\rfloor=1$ 于是 $(nm)\binom{n}{m}$ 的 $p$ 因子个数 $≥1\ge1$ ，所以 $p)\binom{n}{m}\equiv 0(mod\ p)$ ，即当 $pn\ mod\ p<m\ mod\ p$ 时，式子(1)两边等于0。
综上所述式子(1)得证。
$p)，其中Lucas's\ theorem:\binom{n}{m}\equiv \prod_{i=0}^{k}\binom{n_i}{m_i}(mod\ p)，其中$ $m=m_kp^k+m_{k-1}p^{k-1}+\cdots m_1p+m_0$ $n=nkpk+nk−1pk−1+⋯n1p+n0n=n_kp^k+n_{k-1}p^{k-1}+\cdots n_1p+n_0$ $且当ni<mi时，(nimi)=0且当n_i<m_i时，\binom{n_i}{m_i}=0$
证明：利用上述定理对 $(⌊np⌋⌊mp⌋)\binom{\lfloor\frac{n}{p}\rfloor}{\lfloor\frac{m}{p}\rfloor}$ 递归展开，便可推出 $theoremLucas's\ theorem$ 。

当 $p = 2$ 时，要使得 $2\binom{n}{m}\equiv 1\ mod\ 2$ ，即要求 $p\prod_{i=0}^{k}\binom{n_i}{m_i}\equiv 1\ mod\ p$ 由于在 $n, m$ 的二进制展开中，系数 $1≥ni,mi≥01\ge n_i,m_i\ge 0$ ，所以只有当 $ni≥min_i\ge m_i$ 时， $(nimi)=1\binom{n_i}{m_i}=1$ ，记 $n$ 的二进制表示中 $1$ 的个数为 $I (n)$ 而对于 $n$ 的二进制展开，满足 $ni≥min_i\ge m_i$ 的 $m$ 有 $2^{I(n)}$ 个，所以对于杨辉三角第 $n$ 行数列 $(n−10),(n−11),⋯ ,(n−1m),⋯ ,(n−1n)\binom{n-1}{0}, \binom{n-1}{1},\cdots,\binom{n-1}{m},\cdots,\binom{n-1}{n}$ 其中奇数个数为 $2^{I(n-1)}$ 个。