关于哈希表扩容的一点思考

我们知道，选定合适的哈希表 $size$ 值，将会使得元素尽可能均匀的分布在哈希表上，从而减少碰撞的发生和提升哈希表的空间利用率，相反，如果选择的哈希表 $size$ 值不恰当，将会增加碰撞和空间利用率下降
举一个极端的例子，如果原始的哈希表大小为 $size=5$, 插入的数据元素分别为 $45,111,122,78,144$,且采用对 $size$ 取余来确定索引位置，此时数据恰好均匀分布在哈希表上，空间利用率为最理想的 $100\%$：
如果此时我们需要再加入一个新的元素 $100$，显然原哈希表需要扩容来容纳新元素，假设我们将哈希表大小增加到 $size=11$，此时却发现数据全部碰撞在索引值为 $index=1$ 的位置:

我们尝试通过增加哈希表容量来减少碰撞发生的次数，可结果却事与愿违，因此 扩容时 $size$ 的选择非常关键，具体应该怎么选择有待分析…

实际上，很容构造出这样的一种情形：假设数据元素集合{ei∣ei mod m=i,i∈Zm}\{e_i|e_i\ mod\ m=i,i\in\mathbb{Z_m}\}{ei​∣ei​ mod m=i,i∈Zm​} 均匀的分布在 $size=m$ 的哈希表的位置 $0,1,2,\cdots ,m-1$ 上，当扩容至 $size=n$ 时，再不妨假设 $gcd(m,n)=1(greatestcommondivision)$ ，如果要使得 $e_{i}modn=c(c为一个常数),\forall i\in {\mathbb{Z}}_m$，即所有的数据元素集合在新哈希表下映射到同一个位置 $c$，利用中国剩余定理可以反解出 $e_i$：
$$\{\begin{array}{l}{e}_{i}modm=i\\ e_{i}modn=c\end{array}$$
假设解为$e_i=(({\alpha }_{1}m\cdot c+{\alpha }_{2}n\cdot i)modm\cdot n)$，且满足 ${\alpha }_{1}mmodn=1,{\alpha }_{2}nmodm=1$,即${\alpha }_1,{\alpha }_2$ 分别为在模 $n$ 下 $m$ 的乘法逆元和模 $m$ 下 $n$ 的乘法逆元，而求乘法逆元可以采用 $ExtendedEuclideanalgorithm$(也即辗转相除法的扩展版本)，也即如果数据元素$e_i$满足 $e_i=(({\alpha }_{1}m\cdot c+{\alpha }_{2}n\cdot i)modm\cdot n)$ 的形式，且 $gcd(m,n)=1$，则会出现此极端情形