GPS研究---GPS 定位系统的基本观测模型

利用 GPS 进行导航定位，不管采用何种方法，都必须通过用户 GPS 接收机(观测站)对卫星发射的信号进行观测测量，从而获得卫星到用户的距离，进而确定用户的位置。由于各种误差的影响，这并非真实的反映卫星到用户的几何距离，这种带有误差的 GPS 量测距离，称为伪距。目前，在 GPS 定位测量中，广泛采用的观测量有两种，即测码伪距观测量和测相伪距观测量。

1.测码伪距的观测模型

测码伪距观测量，实际上是观测 GPS 卫星发射的测距码信号(C/A 码或 P 码)到达用户接收机天线的电波传播时间$\tau$。因此，这种观测方法也称为时间延迟量。
为了测量上述码信号的时间延迟，在用户 GPS 接收机里复制了与卫星发射的测距码结构完全相同的码信号，利用伪随机码良好的自相关性，通过接收机中的时间延迟器，使复制的测距码进行相移，使其在码元上与接收到的卫星发射的测距码对齐，即进行相关处理，当相关系数为 1 时，接收到卫星测距码与本地复制的测距码对齐。为此所需要的相移量就是卫星发射的码信号到达接收机的传播延迟$\tau$，或称为时间延迟。
在卫星钟和接收机钟完全同步的情况下，同时忽略掉其他误差影响，所得到的时间延迟量$\tau$ 与光速 c 的相乘，即得到卫星到 GPS 接收机天线之间的几何距离。但实际上，由于各种误差影响，这个距离并不是真实的卫星到接收机天线的几何距离，而是含有误差的伪距。
若取符号：
$t^j(GPS)$——表示卫星$s^j$ 发射信号时的理想 GPS 时刻；
$t_i(GPS)$ ——表示接收机$T_i$ 收到该卫星信号时的理想 GPS 时刻；
$t^j$——表示卫星$s^j$ 发射信号时的卫星钟时刻；
$t_i$ ——表示接收机$T_i$ 收到该卫星信号时的接收机钟时刻；
$\Delta t_i^j$ ——表示在忽略大气折射影响下，$t^j$ 时刻卫星$s^j$ 发射的信号于接收机时
钟$t_i$ 时刻到达接收机$T_i$ 的传播时间；
$\delta t^j$ ——表示卫星钟相对理想 GPS 时的钟差；
$\delta t_i$ ——表示接收机钟相对理想 GPS 时的钟差，则有：
$$\{\begin{array}{c}\delta t^j=t^j-t^j(GPS)\\ \delta t_i=t_i-t_i(GPS)\end{array}$$
$$\Delta t_i^j=t_i-t^j=[t_i(GPS)-t^j(GPS)]+[\delta t_i-\delta t^j]={\tau }_i^j+\delta t_i^j$$
由此，信号从卫星传播到接收机天线中心的几何距离为$R_i^j$ ，相应的伪距为${\rho }_i^j$在忽略大气折射影响的条件下，由上式可得：
$${\rho }_i^j=c\Delta t_i^j=R_i^j+c\delta t_i^j$$
由于 GPS 卫星上设有高精度的原子钟，同时卫星星钟与理想 GPS 时的钟差，通常可以从卫星播发的导航电文中得到。经钟差修正以后，各卫星间的同步差，可以保持在 20ns 以内，因此，卫星钟差修正以后只需要考虑 GPS 接收机的钟差，这样可以得到测码伪距观测方程的表达式：
$${\rho }_i^j(t)=R_i^j(t)+c\delta t_i(t)+{\Delta }_{i,I}^j(t)+{\Delta }_{i,T}^j(t)$$
式中：
$\delta t_i(t)$表示接收机钟相对观测历元 t 的钟差；
${\Delta }_{i,I}^j(t)$表示观测历元 t 时刻电离层折射对测码伪距的影响；
${\Delta }_{i,T}^j(t)$表示观测历元 t 时刻对流层折射对测码伪距的影响；
考虑到电离层和对流层延迟可以通过它们各自的误差模型计算，卫星位置可以利用导航电文通过计算得到，因此，上式包含 4 个未知量，它们是三维位置和接收机钟差，这样接收机同时观测 4 颗以上 GPS 卫星，就可以进行三维实时定位。

2 载波相位的观测模型

载波相位观测量是指卫星星钟jt 时刻发射的载波信号，在用户接收机钟it 时刻被接收到，卫星载波信号由发射到被接收，期间载波信号传播的相位称为载波相位观测量，也称为测相伪距观测量。假设，接收机内振荡器频率初相与卫星发射载波初相完全相同，又假设星钟和接收机钟完全同步，则载波相位观测量实际上是卫星jt 时刻载波相位与用户接收机it 时刻的复制载波相位之差，这个差值与载波波长的乘积，即为卫星到接收机的几何距离，如图 3.1 所示。和测码伪距一样，由于各种误差存在，这个距离并不是卫星到接收机天线的真实几何距离，也是含有误差的伪距。

由于载波频率高，波长短，所以载波相位测量精度高，其精度要比伪码测距定位高几个数量级，故载波相位测量被广泛应用于精密定位之中。
为了实现载波相位测量，在 GPS 信号被接收到以后，首先进行伪随机码的延迟锁定，即实现对卫星信号的跟踪。一旦跟踪成功，卫星伪随机码与接收机本地伪随机码严格对齐，此时给出伪距观测量。之后利用锁相环实现相位的锁定，一旦相位锁定成功，就得到了参考载波信号与卫星载波信号的相位差，即：
$${\varphi }_i^j(t_i)={\phi }_i(t_i)-{\phi }^j(t^j)$$
式中： ${\phi }^j(t^j)$为卫星于历元$t^j$ 时刻发射的载波信号相位；${\phi }_i(t_i)$为接收机于历元$t_i$ 时刻的参考载波信号相位；${\varphi }_i^j(t_i)$ 为上述两信号之差，单位为周数（每 $2\pi$ 弧度为一周）。
也可将上式写为整周数$N_i^j(t)$与不足一周的小数部分$\delta {\phi }_i^j(t)$之和，即为：
$${\varphi }_i^j(t)=N_i^j(t)+\delta {\phi }_i^j(t)$$
但是，余弦信号是一种没有标记的信号，根据锁相环路的工作原理，对于某一时刻$t_0$ ，锁相环只能测量出不足整周的小数部分 $\delta {\phi }_i^j(t)$ ，而不能测出载波相差的整数部分$N_i^j(t_0)$。
当卫星于历元$t_0$ 被锁定后，载波相位变化的整周期数能够被自动计数，其后任意观测历元$t$ 的总相差可以写为：
$${\varphi }_i^j(t)=\delta {\phi }_i^j(t)+N_i^j(t-t_0)+N_i^j(t_0)={\phi }_i^j(t)+N_i^j(t_0)$$
式中：$N_i^j(t_0)$为初始历元的整周未知数（或称为整周模糊度），它在信号被锁定后，称为一个常数；$N_i^j(t-t_0)$表示从起始观测历元$t_0$ 至后续观测历元 $t$ 之间载波相位的整周数，由接收机自动计数来确定；${\phi }_i^j(t)$为观测历元$t$ 的实际观测值。其几何意义如图 3.2 所示。但如果发生接收机对卫星的失锁情况，即接收机的自动计数中断，当接收机重新锁定卫星，恢复计数时，锁相环不会发现由于失锁而导致的部分整周数未记录，从而使得测量结果会产生很大偏差，这种现象称为周跳。这种情下，必须对重新锁定后的卫星，开始新的计数。

对于 GPS 载波来说，一个整周误差将会引起 19～24cm 的距离误差。所以，准确地解算整周未知数是利用载波相位观测量进行精密定位的重要问题。
假设，在理想的 GPS 时下，卫星$s^j$ 在历元 $t^j(GPS)$ 发射的载波信号的相位为${\phi }^j[t^j(GPS)]$，而接收机$T_i$在历元 $t_i(GPS)$ 的参考载波信号的相位为 ${\phi }_i[t_i(GPS)]$ ，则它们的相位差可写为：
$${\varphi }_i^j[t(GPS)]={\phi }^j[t^j(GPS)]-{\phi }_i[t_i(GPS)]$$
目前，GPS 接收机所采用的均为高品质晶体振荡器，其频率稳定度在短时间内很高，例如 1 秒钟内可达$10^{-11}-10^{-12}$ ，这样频率漂移所产生的误差可以忽略，卫星发射的载波信号频率与接收机振荡器的固定参考频率在短时间内是相等的，假设为 f，则有：
$${\varphi }_i[t(GPS)]={\phi }^j[t^j(GPS)]-f\cdot [t_i(GPS)-t^j(GPS)]$$
于是，上上式可写为：
$${\varphi }_i^j[t(GPS)]=f\cdot [t_i(GPS)-t^j(GPS)]=f\cdot \Delta {\tau }_i^j$$
其中，$\Delta {\tau }_i^j=t_i(GPS)-t^j(GPS)$ 表示卫星信号的传播时间，它与卫星信号的发射历元以及信号的接收历元有关。考虑到大气折射的影响，卫星信号传播时间的最终表达式:
$$\Delta {\tau }_i^j=\frac{1}{c}{R}_i^j(t)\cdot [1-\frac{1}{c}{R}_i^j(t)]-\frac{1}{c}{R}_i^j(t)\cdot \delta t_i(t)+\frac{1}{c}[{\Delta }_{i,I}^j(t)+{\Delta }_{i,T}^j(t)]$$
式中：$R_i^j(t)$为卫星与测站的几何距离；,${\Delta }_{i,I}^j$为电离层对载波信号的传播路程的影响；${\Delta }_{i,T}^j$为对流层对载波信号的传播路程的影响。
考虑到卫星钟和接收机钟均含有钟差，所以在计算卫星发射信号和接收机参考信号相位差时，必须将钟差考虑在内：
$${\varphi }_i^j(t)={\phi }_i^j[t(GPS)]+f\cdot [\delta t_i(t)-\delta t^j(t)]=f\cdot \Delta {\tau }_i^j+f\cdot [\delta t_i(t)-\delta t^j(t)]$$
$$=\frac{f}{c}{R}_i^j(t)\cdot [1-\frac{1}{c}{R}_i^j(t)]+f\cdot [1-\frac{1}{c}{R}_i^j(t)]\cdot \delta t_i(t)-f\cdot \delta t^j(t)+\frac{f}{c}[{\Delta }_{i,I}^j(t)+{\Delta }_{i,T}^j(t)]$$
对于同一观测站$T_i$ 和同一颗卫星$S^j$ 而言，$N_i^j(t_0)$只与初始观测历元$t_0$有关，在历元$t_0$至$t$的观测过程中，只要跟踪的卫星不失锁，$N_i^j(t_0)$就保持为一个常量；结合式(3-7)可得到测相伪距的观测方程：

3.观测方程的线性化

GPS 定位的原理就是利用 GPS 接收机测量获得的星站伪距以及导航电文中的星历数据来接收机$T_i$ (观测站)在 WGS-84 坐标系中的位置。在实际应用中，必须将
观测方程线性化。
在测码伪距观测方程式(3-4)中，右端的第一项中 $R_i^j(t)$为：