搜狗校招笔试题编程之一

题目：

定义两个合数的距离为两个合数之间的质数的个数。现在输入n个偶数，求这n个偶数两两距离的和。

输入：第一行输入一个整数n。

第二行到第n+1行为从小到大排序的n个合数。

输出：输出一个数为总的距离和。

注意：其中n是几万以内的数，n个合数中每个合数为几百万以内的数。

分析：针对n和每个合数，我们可以看到，对于n个数，我们可以使用O(n*n)的算法，但是对于遍历从1到该合数，我们只能使用O(n)的算法。

对于二次范围内的时间复杂度，我们可以很简单的求出质数表，但是对于线性时间内的复杂度，我们需要用到一些技巧，进行一定程度的剪枝：

分析二次时间复杂度，我们可以发现，对于每个合数，我们在求质数表的过程中进行了看似不同本质重复的分解，比如12=3x4；12=2x6；我们需要对这些不同的分解进行整理，剪枝。由以下结论：

1.对于每个数，我们可以将其分解成为最小质因数(12的分解中的2和3中的2)乘于最大因数。最大因数必然大于最小质因数（显然）。

2.最大因数的最小质因数必然大于上述的最小质因数（显然）。

由上述结论，我们分析从1到10000000内的所有数字均可以分解为最小质因数和最大因数的乘积。

在求质数表时，我们每一步分析每个当前变量i，只需要将该数i从质数表中第一个乘到i的最小质因数就可以了。这样保证每个乘积的两个因数分别为一个最小质因数（同时也保证了另一个是最大因数）。

另外一点在于这n个数可以进行O(n*n)时间复杂度，但是在第二层循环内部还要进行循环计算两个和数的距离，还是会超时，因此此处使用通过O(n)时间计算排序完成的n个数的相邻合数的距离，再通过数学计算就得到最终结果。

分析完了，结果就出来了（java代码)：

import java.io.BufferedInputStream;
import java.util.Scanner;

public class Main{

	public static void main(String[] args) {
		Scanner scanner = new Scanner(new BufferedInputStream(System.in));
		int n = scanner.nextInt();
		int[] input = new int[n];
		for (int i = 0; i < n; i++) {
			input[i] = scanner.nextInt();
		}
		int b = 10000000;
		boolean[] all = new boolean[b];
		int[] prime = new int[b];
		int index = 0;
		for (int i = 2; i < b; i++) {
			if (!all[i])
				prime[index++] = i;
			for (int j = 0; i * prime[j] < b; j++) {
				all[i * prime[j]] = true;
				if (i % prime[j] == 0)
					break;
			}
		}
		int[] space = new int[n - 1];
		for (int i = 0; i < n - 1; i++) {
			int count = 0;
			for (int j = input[i]; j <= input[i + 1]; j++)
				if (!all[j])
					count++;
			space[i] = count;
		}
		int sum = 0;
		for (int i = 0; i < n - 1; i++) {
			sum += space[i] * (n - 1 - i) * (i + 1);
		}
		System.out.println(sum);
	}

}