动态规划之钢条切割

题目：给一个 n 英寸长的杆子和一个包含所有小于 n 的尺寸的价格. 确定通过切割杆并销售碎片可获得的最大值.例如，如果棒的长度为8，并且不同长度部件的值如下，则最大可获得值为 22(通过切割两段长度 2 和 6 )

分析：

场景：把长钢条切割为短钢条出售。切割工序本身无成本。求最佳切割方案。

假定：出售一段长度为 i 英寸的钢条的价格为Pi(i = 1, 2, …, )单位:$，钢条长度均为整英寸。下图为价格表。

问题描述：给定一段长度为n英寸的钢条和一个价格表，求切割方案，使销售收益Rn最大。注：若长度为n英寸的钢条的价格Pn足够大，最优解可能就是完全不需要切割。

考虑长度为4的情况，下图给出了4英寸钢条的所有切割方案。

切成两段各长2英寸的钢条，将产生P2 + P2 = 5 + 5 = 10 的收益，为最优解。

长度为n英寸的钢条共有2^(n-1)种不同切割方案，因为在距离钢条左端 i (i=1, 2, … , n-1)英寸处，总是可以选择切割或者不切割。用普通的加法符号表示切割方案，因此7=2+2+3表示将长度为7的钢条切割为3段：2英寸，2英寸，3英寸。

若一个最优解将钢条切割为k段（1≤k≤n），那么最优切割方案 n = i1 + i2 + … + ik.

将钢条切割为长度分别为i1, i2, … , ik的小段，得到的最大收益为 Rn = Pi1 + Pi2+…+Pik

对于上面表格的价格样例，可以观察所有最优收益值Ri (i: 1~10)以及最优方案：